Se
é um compacto Hausdorff e
é um subconjunto fechado de
, prove que
é (isomorfo a um) quociente de
.
Sugestão: Teorema de extensão de Tietze.
Consequências do Teorema de Baire
Sugestão: Teorema de extensão de Tietze.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço compacto Hausdorff e que
é fechado. Queremos mostrar que o espaço das funções contínuas em
, isto é
, é (isomorfo a) um quociente de
. Vamos usar o Teorema de Extensão de Tietze, que garante extensão de funções contínuas de fechados em espaços normais, e lembrar que todo espaço compacto Hausdorff é normal.
Passo 2
Defina o mapa de restrição
Esse
é um homomorfismo de álgebras (preserva soma, produto e constantes) e é linear e contínuo (no sup–norme). Nosso objetivo passa a ser mostrar que
é sobrejetor e então aplicar o Teorema do Isomorfismo para espaços vetoriais (ou álgebras).
Passo 3
Para provar que
é sobrejetor, seja
. Como
é compacto Hausdorff, ele é normal, e
é fechado em
. Pelo Teorema de Extensão de Tietze, existe
tal que
Logo
, mostrando que
atinge todo
.
Passo 4
O núcleo de
é
isto é, as funções de
que se anulam em
. Pelo Teorema do Isomorfismo temos
Isso demonstra que
é (isomorfo a) um quociente de
.