Se K é um compacto Hausdorff e S é um subconjunto fechado de K, prove que C(S) é (isomorfo a um) quociente de C(K).
Sugestão: Teorema de extensão de Tietze.

Consequências do Teorema de Baire

Passo 1

O enunciado diz que K é um espaço compacto Hausdorff e que Ssubset K é fechado. Queremos mostrar que o espaço das funções contínuas em S, isto é C(S), é (isomorfo a) um quociente de C(K). Vamos usar o Teorema de Extensão de Tietze, que garante extensão de funções contínuas de fechados em espaços normais, e lembrar que todo espaço compacto Hausdorff é normal.

Passo 2

Defina o mapa de restrição
rho: C(K)longrightarrow C(S), rho(f)=f|S
Esse rho é um homomorfismo de álgebras (preserva soma, produto e constantes) e é linear e contínuo (no sup–norme). Nosso objetivo passa a ser mostrar que rho é sobrejetor e então aplicar o Teorema do Isomorfismo para espaços vetoriais (ou álgebras).

Passo 3

Para provar que rho é sobrejetor, seja gin C(S). Como K é compacto Hausdorff, ele é normal, e S é fechado em K. Pelo Teorema de Extensão de Tietze, existe fin C(K) tal que
f|S=g
Logo rho(f)=g, mostrando que rho atinge todo C(S).

Passo 4

O núcleo de rho é
ker(rho)=,fin C(K)mid f|S=0,,
isto é, as funções de C(K) que se anulam em S. Pelo Teorema do Isomorfismo temos
C(K)/ker(rho);cong;im(rho)=C(S)
Isso demonstra que C(S) é (isomorfo a) um quociente de C(K).

Resposta

C(S)cong C(K)/,fin C(K)mid f|S=0,

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