Mostre que se X for separável, qualquer quociente de X também será.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se ,X é um espaço topológico separável (isto é, existe um subconjunto contável e denso em ,X), então qualquer quociente ,Y de ,X também é separável. Aqui precisamos usar a definição de quociente: há uma aplicação sobrejetora e contínua
f : X to Y
tal que um subconjunto Usubset Y é aberto em Y se, e somente se, f^-1(U) é aberto em X.

Passo 2

Como ,X é separável, existe um subconjunto contável e denso
D = d1, d2, d3, dots subset X,
ou seja, D=X. Definimos
A = f(D) = ,f(dn)mid ninN,subset Y
Note que A é contável por ser imagem de um conjunto contável.

Passo 3

Vamos mostrar que A é denso em Y. Tome um aberto arbitrário Usubset Y não–vazio. Como f é quociente (em particular contínua e sobrejetora),
f^-1(U)
é um aberto não–vazio em X. Pela densidade de D, esse aberto intersecta D, ou seja, existe algum dkin Dcap f^-1(U). Então
f(dk)in Ucap A,
o que prova que todo aberto não–vazio de Y intersecta A. Portanto A=Y.

Passo 4

Concluímos que A é um subconjunto contável e denso de Y. Logo Y é separável.

Resposta

Qualquer quociente de um espaço separável também é separável.

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