Mostre que se for separável, qualquer quociente de também será.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é um espaço topológico separável (isto é, existe um subconjunto contável e denso em ), então qualquer quociente de também é separável. Aqui precisamos usar a definição de quociente: há uma aplicação sobrejetora e contínua
tal que um subconjunto é aberto em se, e somente se, é aberto em .
Passo 2
Como é separável, existe um subconjunto contável e denso
ou seja, . Definimos
A = f(D) = ,f(dn)mid ninN,subset Y
Note que A é contável por ser imagem de um conjunto contável.
Passo 3
Vamos mostrar que A é denso em Y. Tome um aberto arbitrário Usubset Y não–vazio. Como f é quociente (em particular contínua e sobrejetora),
f^-1(U)
é um aberto não–vazio em X. Pela densidade de D, esse aberto intersecta D, ou seja, existe algum dkin Dcap f^-1(U). Então
f(dk)in Ucap A,
o que prova que todo aberto não–vazio de Y intersecta A. Portanto A=Y.
Passo 4
Concluímos que A é um subconjunto contável e denso de Y. Logo Y é separável.
Resposta
Qualquer quociente de um espaço separável também é separável.