Para
constante, encontre a solução de
Passo 1
Primeiro, resumindo o problema: temos a EDO forçada por um impulso de Dirac, 2 y’’(t)+8 y(t)=k δ(t), com condições iniciais y(0)=10 e y’(0)=0. O conteúdo é resposta a um impulso em uma EDO linear de segunda ordem, e vamos precisar usar a condição de salto na derivada provocada pelo δ(t).
Passo 2
Dividindo tudo por 2, reescrevemos a equação como
Para t>0, não há forçante, então a solução é a homogênea da forma y_h(t)=A cos(2t)+B sin(2t).
Passo 3
Para achar o efeito do impulso, integramos a equação de t=−ε até t=+ε e deixamos ε→0. Só o termo y’’ contribui no limite, pois ∫δ=1. Assim,
Passo 4
Como y’(0^-)=0 (antes do impulso) e y(0+)=y(0-)=10 (y é contínua), temos y’(0^+)=k/2. Agora aplicamos as condições iniciais na solução homogênea:
Passo 5
Portanto, para t>0 a solução é