Para k constante, encontre a solução de
l2 y^prime prime(t)+8 y(t)=k de

Passo 1

Primeiro, resumindo o problema: temos a EDO forçada por um impulso de Dirac, 2 y’’(t)+8 y(t)=k δ(t), com condições iniciais y(0)=10 e y’(0)=0. O conteúdo é resposta a um impulso em uma EDO linear de segunda ordem, e vamos precisar usar a condição de salto na derivada provocada pelo δ(t).

Passo 2

Dividindo tudo por 2, reescrevemos a equação como
y''(t)+4,y(t)=k2,de
Para t>0, não há forçante, então a solução é a homogênea da forma y_h(t)=A cos(2t)+B sin(2t).

Passo 3

Para achar o efeito do impulso, integramos a equação de t=−ε até t=+ε e deixamos ε→0. Só o termo y’’ contribui no limite, pois ∫δ=1. Assim,
integral-ε^+εl(y''+4yr)dt=integral-ε^+εk2,δ(t)dtimplies y'(0^+)-y'(0^-)=k2

Passo 4

Como y’(0^-)=0 (antes do impulso) e y(0+)=y(0-)=10 (y é contínua), temos y’(0^+)=k/2. Agora aplicamos as condições iniciais na solução homogênea:
y(0)=A=10, y'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)implies y'(0^+)=2B=k2implies B=k4

Passo 5

Portanto, para t>0 a solução é
y(t)=10cos(2t)+k4sin(2t)

Resposta

y(t)=10cos(2t)+tfrack4sin(2t), t>0

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