Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
18 y^prime prime-42 y^prime+25 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
18,y'' - 42,y' + 25,y = 0
O método é usar a equação característica associada à EDO e, a partir das raízes dessa equação, construir a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^r x, y' por r e^r x e y'' por r^2 e^r x. Assim:
18,r^2 - 42,r + 25 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = (-42)^2 - 4cdot18cdot25 = 1764 - 1800 = -36,
logo as raízes são complexas:
r = 42 pm raiz-362cdot18 = 42 pm 6,i36 = 76 pm 16,i

Passo 4

Para raízes r = alpha pm ibeta com alpha = 7/6 e beta = 1/6, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^tfrac76xl(C1cosl(tfracx6r) + C2sinl(tfracx6r)r)

Resposta

y(x) = e^tfrac76xl(C1cosl(tfracx6r) + C2sinl(tfracx6r)r)

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