Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
2 y^prime prime-4 y^prime+4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
2y''-4y'+4y=0
O conteúdo aqui é o método da equação característica: transformamos a EDO num polinômio em r, achamos suas raízes e, a partir delas, escrevemos a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y''mapsto r^2, y'mapsto r e ymapsto1:
2r^2-4r+4=0
Dividindo por 2 fica
r^2-2r+2=0,
cuja discriminante é
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot2 = 4-8 = -4
Logo as raízes são complexas conjugadas:
r = 2pmraiz-42 = 1 pm i

Passo 3

Para raízes r = alphapm ibeta com alpha=1 e beta=1, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha=1 e beta=1, obtemos a solução desejada.

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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