Determinar a constante c para que o vetor v=(x+3 y) i+(y-2 z) j+(x+c z) k seja solencidal (div=0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um vetor e precisa encontrar o valor da constante que faz com que esse vetor seja solenoidal. Ser solenoidal significa que a divergência do vetor é igual a zero, ou seja, . Vamos precisar usar o conceito de divergência aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência. Para um vetor nabla cdot v = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z , a divergência é calculada assim:
Ou seja, a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso vetor P = x + 3y, Q = y - 2z, R = x + cz :
Agora, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Primeira derivada parcial:
partial Ppartial x = partial (x + 3y)partial x = 1
Porque a derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é 0.

Passo 5

Segunda derivada parcial:
partial Qpartial y = partial (y - 2z)partial y = 1
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é 0.

Passo 6

Terceira derivada parcial:
partial Rpartial z = partial (x + cz)partial z = c
Aqui, a derivada de em relação a é 0, e a derivada de em relação a é .

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot v = 1 + 1 + c = 2 + c
Queremos que a divergência seja zero, então:
2 + c = 0 implies c = -2

Resposta

O valor de que faz o vetor ser solenoidal é .

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