Determinar a constante c para que o vetor
seja solencidal (div=0).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um vetor
e precisa encontrar o valor da constante
que faz com que esse vetor seja solenoidal. Ser solenoidal significa que a divergência do vetor é igual a zero, ou seja,
. Vamos precisar usar o conceito de divergência aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência. Para um vetor
, a divergência é calculada assim:
Ou seja, a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso vetor
:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Primeira derivada parcial:
Porque a derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é 0.
Passo 5
Segunda derivada parcial:
A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é 0.
Passo 6
Terceira derivada parcial:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 0, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
Queremos que a divergência seja zero, então:
Resposta
O valor de
que faz o vetor ser solenoidal é
.