(1 ponto) Calcule a integral
em que
é o círculo unitário
percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
onde
é o círculo unitário
percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de funções complexas, especialmente envolvendo integrais de contorno no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
quando estamos no círculo unitário. No círculo unitário, qualquer número complexo
satisfaz
, o que significa que
. Isso simplifica nossa integral, porque podemos substituir
por
.
Passo 3
Substituindo
por
na integral, temos:
Agora, vamos simplificar os expoentes de
.
Passo 4
Simplificando os expoentes:
Então, a integral fica:
Essa é uma integral conhecida na análise complexa.
Passo 5
Sabemos que, para uma função do tipo
, onde
é um inteiro, a integral ao longo do círculo unitário é dada por:
No nosso caso,
, então a integral vale
.
Resposta
A integral vale
.