(1 ponto) Calcule a integral
integralC z^2024 barz^2025 d z,
em que C é o círculo unitário |z|=1 percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
integralC z^2024 barz^2025 dz,
onde é o círculo unitário percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais de funções complexas, especialmente envolvendo integrais de contorno no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é quando estamos no círculo unitário. No círculo unitário, qualquer número complexo satisfaz , o que significa que . Isso simplifica nossa integral, porque podemos substituir por .

Passo 3

Substituindo integralC z^2024 cdot (1z)^2025 dz = integralC z^2024 cdot z^-2025 dz por na integral, temos:
Agora, vamos simplificar os expoentes de .

Passo 4

Simplificando os expoentes:
z^2024 cdot z^-2025 = z^2024 - 2025 = z^-1
Então, a integral fica:
integralC z^-1 dz
Essa é uma integral conhecida na análise complexa.

Passo 5

Sabemos que, para uma função do tipo integralC z^n dz = 2pi i & se n = -1, 0 & caso contrário , onde é um inteiro, a integral ao longo do círculo unitário é dada por:
á
No nosso caso, , então a integral vale .

Resposta

A integral vale .

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