Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
sumn=6^infty (n!)^k(k n)! x^n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências
sumn=6^infty (n!)^k(k n)!,x^n
onde k é um inteiro positivo. O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série usando um teste de convergência de séries de potências (por exemplo, o teste da razão).

Passo 2

Definimos o termo geral e montamos o quociente: seja
an = (n!)^k(k n)!,x^n
Para o teste da razão, consideramos
|an+1an|

Passo 3

Simplificamos o quociente passo a passo:
|an+1an| = ((n+1)!)^k(k(n+1))!,(k n)!(n!)^k,|x| = (n+1)^k,(n!)^k(n!)^k;(k n)!(k n+k)!,|x| = (n+1)^k;1prodj=1^k(k n+j),|x|

Passo 4

Calculamos o limite quando ntoinfty: note que
prodj=1^k(k n+j)sim (k n)^k
e
(n+1)^ksim n^k,
então
limntoinfty|an+1an| = limntoinftyn^k(k n)^k,|x| = |x|k^k

Passo 5

Aplicando o teste da razão: a série converge se
limntoinfty|an+1an|<1 Longrightarrow |x|k^k<1 Longrightarrow |x|
Logo, o raio de convergência é R=k^k.

Resposta

R = k^k

Exercícios relacionados