k) sumn=1^infty 2^n+13^2 n

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma sumn=1^infty 2^n+13^2n. Esse conteúdo pertence a séries geométricas infinitas e vamos usar a condição de convergência e a fórmula de soma quando |r|<1.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral. Observamos que 3^2n = 9^n, então
2^n+13^2n = 2 cdot 2^n9^n = 2 cdot l(tfrac29r)^n
Portanto, a série fica
sumn=1^infty 2^n+13^2n = sumn=1^infty 2 l(tfrac29r)^n = 2 sumn=1^infty l(tfrac29r)^n
Reconhecemos que sumn=1^infty r^n é uma série geométrica infinita com razão r. Aqui temos r=tfrac29 e um fator 2 na frente. Como |r|=tfrac29<1, a série converge.

Passo 3

A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é
sumn=1^infty r^n = r1-r

Passo 4

Logo,
2 sumn=1^infty l(tfrac29r)^n = 2 cdot tfrac291 - tfrac29
Basta calcular:
2 cdot tfrac29tfrac79 = 2 cdot 27 = 47

Resposta

tfrac47

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