Kárita deseja construir um jardim retangular comárea de 8 \mathrm{~m}^{2}.O comprimento do jardim deve ser 2 metros maior que a largura. Sendo x a largura do jardim, a equação que representa essa situação é: x(x+2)=8
Então os possiveis valores para x são:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Passo 1

O enunciado dá um jardim retangular com área de 8\\ \mathrm{m}^2. O comprimento é 2 metros maior que a largura. Foi definido x como a largura do jardim. A equação que representa a situação é
x(x+2)=8.
A pergunta do exercício é: quais são os possíveis valores para x? As alternativas oferecidas são:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Passo 2

Vamos transformar a equação dada numa forma padrão de equação quadrática para poder resolver. Começo expandindo o produto do lado esquerdo:
x(x+2)=x^2+2x.
Como isso é igual a 8, obtemos
x^2+2x=8.
Agora passo tudo para o lado esquerdo para ficar no formato padrão ax^2+bx+c=0:
x^2+2x-8=0.
Explicação curta sobre isso: colocar a equação na forma ax^2+bx+c=0 é útil porque aí podemos usar técnicas padrões (fatoração ou fórmula de Bhaskara) para encontrar as raízes.

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 é a=1, podemos tentar fatorar procurando dois números que multipliquem para c=-8 e somem para b=2. Ou seja, precisamos de dois números m e n tais que
m\cdot n = -8\quad\text{e}\quad m+n=2.
Testando pares de divisores de -8: (-1,8) soma 7; (1,-8) soma -7; (2,-4) soma -2; (-2,4) soma 2. Portanto os números que queremos são -2 e 4.
Assim podemos escrever o trinomio como produto de binômios:
x^2+2x-8 = (x-2)(x+4).
Verificação rápida (sempre bom checar): multiplicando (x-2)(x+4) x^2+4x-2x-8 = x^2+2x-8. Certo.

Passo 4

Usando a propriedade do produto nulo: se (x-2)(x+4)=0, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim
x-2=0 \quad\text{ou}\quad x+4=0.
Dessas equações obtemos as raízes
x=2 \quad\text{e}\quad x=-4.

Passo 5

Agora aplicamos o contexto físico do problema: x representa a largura de um jardim, portanto deve ser um comprimento positivo. A solução x=-4 é negativa e não faz sentido físico (além disso o comprimento x+2 ficaria negativo). Logo descartamos x=-4 e mantemos apenas
x=2.
Dica: em problemas geométricos sempre verifique se as soluções matemáticas satisfazem as restrições do enunciado (como positividade de comprimentos).

Resposta

B) 2

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