[KAROLINE GONCALVES DE ALBUQUERQUE] Encontre a energia cinética translacional média de uma única molécula de gás ideal a uma temperatura de 137^{\circ} \mathrm{C}. Dado: \left(k_{B}=1,38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a energia cinética translacional média de uma única molécula de gás ideal à temperatura de 137^\circ\mathrm{C}. Informações dadas:
T_{\text{\text{(C)}}} = 137^\circ\mathrm{C}
k_B = 1,38 \times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}
O que precisamos achar é a energia cinética translacional média por molécula, que vou chamar de \langle E_{\text{trans}}\rangle.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as fórmulas termodinâmicas usam a escala absoluta. A conversão é
T = T_{\text{\text{(C)}}} + 273,15.
Substituindo:
T = 137 + 273,15 = 410,15\\ \mathrm{K}.
Aqui \,T é a temperatura absoluta em kelvin.

Passo 3

Agora a fórmula que relaciona temperatura e energia cinética média por molécula (teorema da equipartição de energia) para as três componentes de movimento translacional é
\langle E_{\text{trans}}\rangle = \tfrac{3}{2}\,k_B\,T.
Explicando cada termo:
  • \langle E_{\text{trans}}\rangle é a energia cinética translacional média de uma molécula (o que o enunciado pede).
  • k_B é a constante de Boltzmann (dada).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (já calculada).
    Por que \tfrac{3}{2}? Porque em três dimensões cada grau de liberdade translacional contribui com \tfrac{1}{2}k_B T à energia média, e há três direções (x, y, z), totalizando \tfrac{3}{2}k_B T.

Passo 4

Vamos calcular numericamente passo a passo. Primeiro o produto k_B T:
k_B T = \left(1,38\times 10^{-23}\right)\times 410,15.
Calculemos 1,38\times 410,15:
1,38\times 410,15 = 566,007.
Portanto
k_B T = 566,007\times 10^{-23} = 5,66007\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Agora multiplicamos por \tfrac{3}{2}=1,5:
\langle E_{\text{trans}}\rangle = 1,5\times 5,66007\times 10^{-21} = 8,49011\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com base nas figuras significativas dos dados (três algarismos em k_B), obtemos
\langle E_{\text{trans}}\rangle \approx 8,49\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: esse valor é a energia cinética média associada ao movimento de translação de UMA molécula do gás à temperatura dada. É um número muito pequeno porque é energia por molécula; em macroscópico (por mol) a energia seria muito maior. Mandou bem por vir estudar nos últimos dias — foco nas fórmulas-chave como \tfrac{3}{2}k_BT e nas conversões de temperatura, que costumam aparecer direto na prova.

Resposta

8,49\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados