Um capacitor de placas paralelas é carregado até que a diferença de potencial entre as armaduras é alcançada. Se um dielétrico de constante dielétrica igual a 9, é também inserido entre as placas, mantendo a carga constante, a energia armazenada no capacitor é W, a do segundo será:
a) 9 W .
b) W/9.
c) 3 W .
d) W/3.
e) 6 W .
Considere para as questões: \mathrm{K}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2}=1 / 4 \pi \varepsilon_{0} ; \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a energia armazenada em um capacitor de placas paralelas nas duas situações: antes e depois de inserir um dielétrico entre as placas, mantendo a carga constante. Queremos escolher a alternativa correta entre as dadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • O capacitor é de placas paralelas e foi carregado até certa diferença de potencial; na primeira situação a energia armazenada é W.
  • Um dielétrico com constante dielétrica (permitividade relativa) igual a 9 é inserido entre as placas.
  • A carga no capacitor é mantida constante durante a inserção do dielétrico.
  • As alternativas possíveis são:
    a) 9\,W.
    b) W/9.
    c) 3\,W.
    d) W/3.
    e) 6\,W.
  • O enunciado também fornece a constante de Coulomb K=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}=1/(4\pi\varepsilon_{0}) e \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (essas constantes estão disponíveis, mas não são necessárias para a relação pedida).

Passo 2

Vamos listar fórmulas fundamentais da energia em capacitores e explicar cada termo (tudo passo a passo e sem pular etapas):
  1. Capacitância de um capacitor de placas paralelas (sem dielétrico)
C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d},
onde C é a capacitância, \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, A é a área das placas e d é a separação entre elas. Isso vem da definição física do capacitor de placas paralelas.
  1. Quando um dielétrico de permitividade relativa \kappa (também chamado de constante dielétrica) é inserido totalmente entre as placas, a nova capacitância é
C'=\kappa C,
porque o dielétrico aumenta a capacidade de armazenar carga reduzindo o campo elétrico interno; aqui \kappa é adimensional e, no problema, \kappa=9.
  1. Três formas equivalentes para a energia armazenada em um capacitor são:
U=\frac{Q^{2}}{2C},\qquad U=\frac{1}{2}CV^{2},\qquad U=\frac{1}{2}QV,
onde U é a energia, Q é a carga nas placas, C é a capacitância e V é a diferença de potencial entre as placas. Vou explicar a origem rápida: a energia é integral do trabalho necessário para acumular carga incremental dq contra a tensão v, e isso leva a U=\int_{0}^{Q} v(q)\,dq com v(q)=q/C, resultando em U=Q^{2}/(2C); as outras formas vêm substituindo Q=C V.
Observação importante para este problema: o enunciado diz que a carga Q é mantida constante quando o dielétrico é inserido. Portanto, a fórmula mais útil é
U=\frac{Q^{2}}{2C},
pois Q é constante e só C muda.

Passo 3

Aplicando a relação com carga constante: inicialmente a energia era W. Isso significa que, antes do dielétrico,
W=\frac{Q^{2}}{2C}.
Depois que inserimos o dielétrico com \kappa=9, a nova capacitância é C'=\kappa C=9C. A nova energia U' (chamarei assim) será
U'=\frac{Q^{2}}{2C'}=\frac{Q^{2}}{2(\kappa C)}=\frac{1}{\kappa}\cdot\frac{Q^{2}}{2C}.
Mas \dfrac{Q^{2}}{2C}=W. Logo
U'=\frac{1}{\kappa}\,W.

Passo 4

Substituindo o valor numérico de \kappa:
\kappa=9 \quad\Rightarrow\quad U'=\frac{1}{9}\,W.
Portanto a energia armazenada após inserir o dielétrico, mantendo a carga constante, é \dfrac{W}{9}.
Como verificação extra (mesma conclusão por outro caminho): com carga constante, a tensão cai quando a capacitância aumenta; de fato V'=Q/C'=Q/(\kappa C)=V/\kappa. Usando U'=\tfrac{1}{2}C'V'^{2}=\tfrac{1}{2}(\kappa C)(V/\kappa)^{2}=(1/\kappa)\cdot(\tfrac{1}{2}CV^{2}). Como \tfrac{1}{2}CV^{2}=W, novamente U'=W/\kappa=W/9.

Passo 5

Conclusão lógica: entre as alternativas dadas, a correta é a que diz W/9, que é a alternativa (b).

Resposta

b) W/9

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