5- Kesolva as equações separáveis:
v\left\{\begin{array}{c}\frac{d x}{d y}=4\left(x^{2}+1\right) \\\ x\left(\frac{\pi}{4}\right)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável
\frac{dx}{dy} = 4\bigl(x^2+1\bigr)
com condição inicial x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
Conteúdo: separação de variáveis e integrais imediatas (arctan).

Passo 2

Separamos as variáveis agrupando x de um lado e y do outro:
\frac{dx}{x^2+1} = 4\,dy.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{dx}{x^2+1} = \int 4\,dy
leva a
\arctan(x) = 4y + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1. Substituindo em \arctan(x)=4y+C:
\arctan(1) = 4\cdot\frac{\pi}{4} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{4} = \pi + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo C de volta e isolando x:
\arctan(x) = 4y - \frac{3\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad x(y) = \tan\!\Bigl(4y - \tfrac{3\pi}{4}\Bigr).

Resposta

x(y) = \tan\!\Bigl(4y - \tfrac{3\pi}{4}\Bigr).

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