5- Kesolva as equações separáveis:
\left\{\begin{array}{c}y d y=4 x\left(y^{2}+1\right)^{\frac{1}{2}} d x \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial separável
y\,dy = 4x\sqrt{y^{2}+1}\,dx
com condição inicial y(0)=1.
Para resolver, vamos separar as variáveis y e x e integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por \sqrt{y^{2}+1}, obtemos
\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy \;=\; 4x\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
à esquerda use a substituição u=y^{2}+1, de modo que du=2y\,dy, logo
\int \frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = \int \frac{1}{2}\,\frac{du}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} + C_{1} = \sqrt{y^{2}+1} + C_{1}.
À direita,
\int 4x\,dx = 2x^{2} + C_{2}.
Reunindo constantes num só C, fica
\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} + C.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
\sqrt{1^{2}+1} = \sqrt{2} = 2\cdot 0^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C = \sqrt{2}.
Logo
\sqrt{y^{2}+1} = 2x^{2} + \sqrt{2}.

Passo 5

Elevando ao quadrado e isolando y:
y^{2} = \bigl(2x^{2} + \sqrt{2}\bigr)^{2} - 1 =4x^{4} +4\sqrt{2}\,x^{2}+1,
e como y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo:
y(x) = \sqrt{4x^{4} +4\sqrt{2}\,x^{2}+1}.

Resposta

y(x) = \sqrt{4x^{4} +4\sqrt{2}\,x^{2}+1}.

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