5- Kesolva as equações separáveis:
\left\{\begin{aligned}\left(e^{-y}+1\right) \operatorname{sen} x d x & =(1+\cos x) d y \\\ y(0) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial separável
(e^{-y}+1)\,\sin x\,dx \;=\;(1+\cos x)\,dy
com condição inicial y(0)=0. Vamos separar variáveis, integrar cada lado, usar a condição inicial para achar a constante e, por fim, resolver para y.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por (e^{-y}+1)(1+\cos x):
\frac{dy}{e^{-y}+1} \;=\;\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.

Passo 3

Integre cada membro:
Para o lado esquerdo note que
\frac{1}{e^{-y}+1} = \frac{e^y}{1+e^y},
faça u=1+e^y, du=e^y\,dy, então
\int \frac{dy}{e^{-y}+1} = \int \frac{e^y\,dy}{1+e^y} = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl(1+e^y\bigr).
Para o lado direito use v=1+\cos x, dv=-\sin x\,dx, daí
\int \frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx = -\int \frac{dv}{v} = -\ln\bigl(1+\cos x\bigr).
Isso leva a
\ln\bigl(1+e^y\bigr) = -\ln\bigl(1+\cos x\bigr) + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl[(1+e^y)(1+\cos x)\bigr] = C.

Passo 4

Exponenciando,
(1+e^y)(1+\cos x) = K,
com K=e^C. Use y(0)=0: em x=0 temos \cos0=1 e e^0=1, logo
(1+1)(1+1) = 4 = K.
Portanto
(1+e^y)(1+\cos x)=4.

Passo 5

Isole e^y:
1+e^y = \frac{4}{1+\cos x} \;\Longrightarrow\; e^y = \frac{4}{1+\cos x}-1 = \frac{3-\cos x}{1+\cos x}.
Tomando logaritmo natural,
y = \ln\!\Bigl(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\Bigr).

Resposta

y(x) = \ln\!\bigl(\tfrac{3 - \cos x}{1 + \cos x}\bigr).

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