Para k>1, determine se a série sumn=1^+infty(-1)^n sen(1n^k)n converge ou diverge. Justifique!

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que depende de um valor sumn=1^+infty (-1)^n sen(1n^k)n maior que 1. A série é dada por:
A gente quer descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
Essa expressão tem um fator an = (-1)^n sen(1n^k)n , o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). Mas o que realmente vai determinar a convergência aqui é o comportamento do valor absoluto desse termo.

Passo 3

Vamos analisar o valor absoluto de |an| = | sen(1n^k)n | :
Agora, sabemos que para valores pequenos de sen(1n^k) approx 1n^k , . Como |an| approx 1n^k cdot n = 1n^k+1 fica cada vez menor conforme cresce, podemos aproximar:
Então, o valor absoluto fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos comparar essa aproximação com uma série conhecida, a série p:
sumn=1^+infty 1n^p
Sabemos que essa série converge se p = k + 1 > 2 > 1 . No nosso caso, sumn=1^+infty 1n^k+1 . Como , então:
Isso significa que a série de termos absolutos:
converge. Como a série original é alternada e os termos absolutos dela também convergem, podemos concluir que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente para todo .

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