Seja F(x, y)=(-x^2 y, x y^2) e D o disco de centro (0,0) e raio 1. Calcule
ointpartial D F cdot d r
para partial D orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y)=(-x^2 y, x y^2) e um disco D com centro na origem e raio 1. Precisamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de D, ointpartial D F cdot d r, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área, e vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para um campo vetorial F = (P, Q), a integral de linha ao redor de uma curva fechada partial D é igual à integral dupla sobre a região D da diferença entre as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y. Matematicamente:
ointpartial D F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo vetorial F. Temos:
  • P(x, y) = -x^2 y
  • Q(x, y) = x y^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2

Passo 5

Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (-x^2 y) = -x^2

Passo 6

Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( y^2 - (-x^2) ) , dx , dy = integral duplaD (x^2 + y^2) , dx , dy

Passo 7

Observamos que D é um disco de raio 1. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta, y = r sin theta e x^2 + y^2 = r^2. O elemento de área dx , dy em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta.

Passo 8

Reescrevemos a integral em coordenadas polares:
integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^3 , dr , dtheta
Os limites de integração são:
  • r varia de 0 a 1
  • theta varia de 0 a 2pi

Passo 9

Calculamos a integral dupla:
integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta = integral0^2pi [ r^44 g|0^1 ] dtheta = integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

A integral de linha ointpartial D F cdot d r é igual a dfracpi2.

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