(KöMaL) Sejam \mathbf{p}, \mathbf{q} números primos distintos.
Determine os pares de inteiros positivos ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) que satisfazem a equação:
\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{y}}=1

Passo 1

O enunciado pede os pares de inteiros positivos (x,y) que satisfazem
\frac{p}{x} + \frac{q}{y} = 1
onde p e q são primos distintos.
Conteúdo: equações diofantinas e fatoração em inteiros.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por xy para ficar tudo em numeradores:
p\,y + q\,x = x\,y.

Passo 3

Reescrevemos em forma padrão, isolando em um lado:
x\,y - q\,x - p\,y = 0.
Para fatorar, somamos e subtraímos p\,q:
x\,y - q\,x - p\,y + p\,q = p\,q,
o que nos dá a fatoração
(x - p)(y - q) = p\,q.

Passo 4

Como p e q são primos distintos, os divisores positivos de p\,q são
1,\;p,\;q,\;p\,q.
Sejam (d_1,d_2) tais que d_1\,d_2 = p\,q e
x - p = d_1,\qquad y - q = d_2.

Passo 5

Para cada par (d_1,d_2) obtemos:
  1. d_1=1,\;d_2=pq,:
    x=p+1,\;y=q+pq = q(p+1).
  2. d_1=p,\;d_2=q,:
    x=p+p=2p,\;y=q+q=2q.
  3. d_1=q,\;d_2=p,:
    x=p+q,\;y=q+p.
  4. d_1=pq,\;d_2=1,:
    x=p+pq = p(q+1),\;y=q+1.

Resposta

Os únicos pares (x,y) em inteiros positivos são
(p+1,\;q(p+1)),\quad (2p,\;2q),\quad (p+q,\;p+q),\quad \bigl(p(q+1),\;q+1\bigr).

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