Se L in R e varepsilon é um número real positivo, mostre que:
|y-L|<varepsilon Leftrightarrow L-varepsilon<y<L+varepsilon.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, dadas LinR e varepsilon>0, a condição lvert y - Lrvert < varepsilon é equivalente à desigualdade composta L - varepsilon < y < L + varepsilon. Para isso, vamos usar a definição de valor absoluto e manipulação de desigualdades.

Passo 2

Pela definição de valor absoluto, para todo ainR e varepsilon>0 vale
|a|<varepsilon iff -varepsilon < a < varepsilon
Tomando a = y - L, obtemos
|y - L|<varepsilon iff -varepsilon < y - L < varepsilon
Somando L em todas as partes dessa desigualdade composta segue
L - varepsilon < y < L + varepsilon,
o que mostra a equivalência desejada.

Resposta

|y - L|<varepsilon iff L - varepsilon<y<L + varepsilon

Exercícios relacionados