Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
(a) Deduza a equação diferencial que governa este processo.
(b) Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
(a) Deduza a equação diferencial que governa este processo.
(b) Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
Passo 1
O enunciado descreve uma população fixa de
indivíduos, dos quais
estão infectados no instante
. A taxa de variação
é proporcional ao encontro de infectados com não infectados. O conteúdo é um modelo logístico.
Passo 2
Traduzindo “proporcional ao produto do número de infectados pelo de saudáveis” temos
onde
é a constante de proporcionalidade. Esse é o modelo logístico.
Passo 3
Usamos as condições iniciais
e
. Substituindo em
temos
Passo 4
Resolvendo por separação de variáveis:
Fazendo frações parciais,
logo
Exponenciando e definindo
, obtemos a solução geral
Usando
dá
, logo
e
. Portanto
Passo 5
Queremos
tal que
. Então
Tomando logaritmo,
Resposta
Demora aproximadamente
dias para que o número de infectados passe de
para
.
(a)
com
(b) Aproximadamente dias.
(b) Aproximadamente