Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante t=0, o número N=N(t) de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento N^prime(t) em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que N^prime(t) é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
(a) Deduza a equação diferencial que governa este processo.
(b) Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?

Passo 1

O enunciado descreve uma população fixa de 15000 indivíduos, dos quais N=N(t) estão infectados no instante t. A taxa de variação N'(t) é proporcional ao encontro de infectados com não infectados. O conteúdo é um modelo logístico.

Passo 2

Traduzindo “proporcional ao produto do número de infectados pelo de saudáveis” temos
dNdt=k,Nl(15000 - Nr),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Esse é o modelo logístico.

Passo 3

Usamos as condições iniciais N(0)=5000 e N'(0)=500. Substituindo em
N'(0)=kcdot5000l(15000-5000r)=kcdot5000cdot10000,
temos
500 = kcdot 50,000,000 Longrightarrow k = 50050,000,000 = 1times10^-5

Passo 4

Resolvendo por separação de variáveis:
integral dNN(15000-N) = integral k,dt
Fazendo frações parciais,
1N(15000-N)=115000l(1N+115000-Nr),
logo
115000ln!l(N15000-Nr) = k,t + C
Exponenciando e definindo A=e^15000C, obtemos a solução geral
N15000-N=A,e^15000,k,t Longrightarrow N(t)=150001 + A,e^-15000,k,t
Usando N(0)=5000 5000=15000/(1+A), logo 1+A=3 e A=2. Portanto
N(t)=150001 + 2,e^-15000times10^-5,t =150001 + 2,e^-0,15,t

Passo 5

Queremos t tal que N(t)=10000. Então
10000=150001+2,e^-0,15,t Longrightarrow 1+2,e^-0,15,t=1,5 Longrightarrow e^-0,15,t=0,25
Tomando logaritmo,
-0,15,t = ln(0,25) = -ln(4) Longrightarrow t = ln(4)0,15approx 9,24 dias

Resposta

Demora aproximadamente 9,24 dias para que o número de infectados passe de 5000 para 10000.
(a) dNdt=k,N,(15000-N) com k=10^-5
(b) Aproximadamente 9,24 dias.

Exercícios relacionados