4.5D A força gravitacional F atuando em uma partícula de massa m, próxima da superfície da terra, é dada por F=-m g k. Mostre que o trabalho W realizado pela força F sobre a partícula, quando essa se move verticalmente de uma altura H a uma altura h, é W=m g(H-h).

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m está sujeita à força gravitacional
F = -m,g,k
e se move verticalmente de uma altura H até uma altura h. Precisamos usar o conceito de trabalho de uma força constante (ou integral de linha, já que o movimento é num só eixo) para achar
W = integral Fcdot dr

Passo 2

Segundo a definição, o trabalho realizado por uma força ao longo de um trajeto é
W = integralC Fcdot dr
Aqui o trajeto C vai de z=H até z=h. Como F é constante em direção e módulo e o movimento é unidimensional, essa integral simplifica bastante.

Passo 3

Vamos parametrizar o deslocamento. Num movimento vertical,
dr = dz,k,
então
Fcdot dr = (-m,g,k)cdot (dz,k) = -m,g,dz

Passo 4

Substituindo na integral de trabalho, com z variando de H até h:
W = integralH^h (-m,g),dz = -m,g,(h - H) = m,g,(H - h)

Resposta

W = m,g,(H - h)

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