Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
10) f(x)=1x c=2

Passo 1

A gente quer encontrar a série de Taylor de f(x)=1/x centrada em c=2. Esse assunto faz parte de séries de Taylor, e para resolver vamos precisar da definição que envolve as derivadas de f em torno de c, calcular f^(n)(2) e montar a soma.

Passo 2

A definição de série de Taylor diz que, se f for infinitamente derivável em torno de c, então
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(c)n!(x-c)^n
É essa fórmula que vamos usar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=x^-1. Temos
f'(x)=-x^-2, f''(x)=2x^-3, f^(n)(x)=(-1)^n,n!,x^-(n+1)
Avaliando em x=2 obtemos
f^(n)(2)=(-1)^n,n!2^n+1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor encontramos
f(x)=sumn=0^infty (-1)^n,n!2^n+1,n!(x-2)^n =sumn=0^infty (-1)^n(x-2)^n2^n+1
Em outras palavras, a expansão fica
1x=12-x-22^2+(x-2)^22^3-cdots

Passo 5

Para determinar a região de convergência, podemos usar o teste da razão ou notar que essa é uma série geométrica em h=x-2. O critério é
|x-22|<1
ou seja
|x-2|<2

Resposta

A série de Taylor de tfrac1x em torno de c=2 é
1x=sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n2^n+1,
que converge para
|x-2|<2

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