Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funções. Determine os valores de para os quais a série converge.
10)
Passo 1
A gente quer encontrar a série de Taylor de centrada em . Esse assunto faz parte de séries de Taylor, e para resolver vamos precisar da definição que envolve as derivadas de em torno de , calcular e montar a soma.
Passo 2
A definição de série de Taylor diz que, se for infinitamente derivável em torno de , então
É essa fórmula que vamos usar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de . Temos
Avaliando em obtemos
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor encontramos
Em outras palavras, a expansão fica
Passo 5
Para determinar a região de convergência, podemos usar o teste da razão ou notar que essa é uma série geométrica em . O critério é