Seja
.
(a) Mostre que a equação vetorial acima é uma parametrização da superfície
.
(b) Encontre um vetor normal no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente no ponto
.
(a) Mostre que a equação vetorial acima é uma parametrização da superfície
(b) Encontre um vetor normal no ponto
© Determine a equação do plano tangente no ponto
Passo 1
O enunciado define a superfície paramétrica
para
,
. Vamos usar derivadas parciais para achar vetores tangentes, produto vetorial para o normal e depois a fórmula do plano tangente. O conteúdo inclui superfícies paramétricas, produto vetorial e equação do plano tangente.
Passo 2
Para mostrar que a parametrização satisfaz
, identifique
,
e
. Então
blockMath1_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath1
Passo 3
Para achar um vetor normal, calculamos as derivadas parciais
blockMath2_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath2
Passo 4
O normal é dado por
. Fazendo o produto vetorial:
blockMath3_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath3
Passo 5
Em
temos
,
e
, logo
blockMath4_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath4
Passo 6
Para o plano tangente no ponto
(que corresponde a
), usamos a equação
blockMath5_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath5
Passo 7
Substituindo
obtemos
blockMath6_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath6
Resposta
x+2z+1=0