Seja r(u, v)=(u^2 cos (v), u^2 sen(v), u),-3 <= u <= 3,0 <= v <= 2 pi.
(a) Mostre que a equação vetorial acima é uma parametrização da superfície x^2+y^2=z^4.
(b) Encontre um vetor normal no ponto (u, v)=(-1,0).
© Determine a equação do plano tangente no ponto (1,0,-1).

Passo 1

O enunciado define a superfície paramétrica r(u,v)=(u^2cos v,,u^2sin v,,u) para -3<= u<=3, 0<= v<=2pi. Vamos usar derivadas parciais para achar vetores tangentes, produto vetorial para o normal e depois a fórmula do plano tangente. O conteúdo inclui superfícies paramétricas, produto vetorial e equação do plano tangente.

Passo 2

Para mostrar que a parametrização satisfaz x^2+y^2=z^4, identifique x=u^2cos v, y=u^2sin v e z=u. Então
blockMath1_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath1 x^2+y^2=(u^2cos v)^2+(u^2sin v)^2=u^4(cos^2v+sin^2v)=u^4 z^4=(u)^4=u^4 implies x^2+y^2=z^4

Passo 3

Para achar um vetor normal, calculamos as derivadas parciais
blockMath2_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath2 ru=partial rpartial u=(2ucos v,,2usin v,,1), rv=partial rpartial v=(-u^2sin v,,u^2cos v,,0)

Passo 4

O normal é dado por n=rutimesrv. Fazendo o produto vetorial:
blockMath3_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath3 n=(2usin vcdot0-1cdot u^2cos v,,-(2ucos vcdot0-1cdot(-u^2sin v)),,2ucos vcdot u^2cos v-2usin vcdot(-u^2sin v)) =(-u^2cos v,,-u^2sin v,,2u^3)

Passo 5

Em (u,v)=(-1,0) temos cos0=1, sin0=0 e u=-1, logo
blockMath4_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath4 n(-1,0)=(-(-1)^2cdot1,,-(-1)^2cdot0,,2(-1)^3)=(-1,0,-2)

Passo 6

Para o plano tangente no ponto (1,0,-1) (que corresponde a u=-1,v=0), usamos a equação
blockMath5_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath5 ncdot((x,y,z)-(1,0,-1))=0

Passo 7

Substituindo n=(-1,0,-2) obtemos
blockMath6_trailing_newline_needed_before_or_after_1st_text_only_do_not_insert_blockMath6 -1(x-1)+0(y-0)-2(z+1)=0 implies -x+1-2z-2=0 implies x+2z+1=0

Resposta

x+2z+1=0

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