l) sumn=1^infty 2^n sen(n pi+pi2)3^2 n-2

Passo 1

Nesse exercício temos a série infinita sumn=1^infty 2^n,sinl(npi+tfracpi2r)3^2n-2. O conteúdo principal envolve identificar uma identidade trigonométrica para simplificar sin(npi+tfracpi2) e depois usar a soma de séries geométricas.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica sin(npi+alpha)=(-1)^nsin(alpha). No nosso caso, alpha=tfracpi2, logo
sinl(npi+tfracpi2r)=(-1)^nsinl(tfracpi2r)=(-1)^n
Substituindo na série, o termo geral vira
2^n,(-1)^n3^2n-2 ,

Passo 3

Agora, observe que 3^2n-2=3^2n/3^2=9^n/9. Assim,
2^n(-1)^n3^2n-2 = (-2)^n3^2n-2 = (-2)^n9^n/9 = 9l(tfrac-29r)^n
Portanto a série original fica
sumn=1^infty9l(tfrac-29r)^n

Passo 4

Isso é uma série geométrica de razão r=-tfrac29 e primeiro termo 9r=9cdot(-2/9)=-2. Sabemos que, para |r|<1,
sumn=1^inftyar^n-1 = a1-r,
ou equivalentemente
sumn=1^inftyr^n = r1-r
Aqui usamos 9sumn=1^inftyr^n=9cdottfracr1-r

Passo 5

Substituindo r=-tfrac29 na fórmula, temos
9cdot-2/91-(-2/9) = 9cdot-2/91+2/9 = 9cdot-2/911/9 = 9cdotl(-tfrac211r) = -tfrac1811

Resposta

-\tfrac{18}{11}

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