Sugestão: Teste de comparação ou comparação no limite
r) sum ln (n)n^3

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty ln(n)n^3 converge ou diverge. O conteúdo envolve testes de comparação para séries, mais especificamente o teste da comparação direta ou comparação no limite.

Passo 2

Para usar o teste de comparação direta, observamos que, para n>=2, temos a desigualdade ln(n)<= n. Isso decorre do fato de que a função ln(x) cresce mais lentamente que x.
Dividindo ambos os lados de ln(n)<= n por n^3>0, obtemos a estimativa

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p=2>1 e, portanto, converge. Pelo teste de comparação direta, como 0<= ln(n)n^3<= 1n^2 e a série maior converge, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln(n)n^3 converge (convergência absoluta).

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