(3,0) Sejam f(x, y)=y+x^2-1x^2-y-1, D o dominio de f in P=(2,2,5),
Determine D e mostre que f é diferencíavel em D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função e nos pede para determinar o domínio dessa função e provar que ela é diferenciável em . Vamos precisar usar conceitos de álgebra para encontrar o domínio e cálculo, especificamente derivadas parciais, para mostrar a diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares para os quais a função está bem definida. Olhando a função, o denominador não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Então, precisamos resolver a inequação . Isso significa que para cada , não pode ser igual a . Portanto, o domínio é todo o plano menos os pontos onde .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que é diferenciável em . Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais de existem e são contínuas em .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 2x(x^2 - y - 1) - (y + x^2 - 1)(2x)(x^2 - y - 1)^2 = 2x(x^2 - y - 1 - y - x^2 + 1)(x^2 - y - 1)^2 = -4xy(x^2 - y - 1)^2 :
fy = partial fpartial y = (1)(x^2 - y - 1) - (y + x^2 - 1)(-1)(x^2 - y - 1)^2 = x^2 - y - 1 + y + x^2 - 1(x^2 - y - 1)^2 = 2x^2 - 2(x^2 - y - 1)^2

Passo 6

As derivadas parciais e estão definidas em todo e são funções racionais com denominadores que nunca são zero em . Além disso, as derivadas são contínuas porque são combinações de funções polinomiais e racionais com denominadores não nulos. Portanto, é diferenciável em .

Resposta

O domínio da função é todo o plano menos os pontos onde . Além disso, é diferenciável em .

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