(3,0) Sejam
o dominio de
,
Determine
e mostre que
é diferencíavel em
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função
e nos pede para determinar o domínio
dessa função e provar que ela é diferenciável em
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra para encontrar o domínio e cálculo, especificamente derivadas parciais, para mostrar a diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio
da função. O domínio são todos os pares
para os quais a função está bem definida. Olhando a função, o denominador
não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido.
Passo 3
Então, precisamos resolver a inequação
. Isso significa que para cada
,
não pode ser igual a
. Portanto, o domínio
é todo o plano
menos os pontos onde
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
é diferenciável em
. Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 6
As derivadas parciais
e
estão definidas em todo
e são funções racionais com denominadores que nunca são zero em
. Além disso, as derivadas são contínuas porque são combinações de funções polinomiais e racionais com denominadores não nulos. Portanto,
é diferenciável em
.
Resposta
O domínio
da função
é todo o plano
menos os pontos onde
. Além disso,
é diferenciável em
.