certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção: -infty
Nenhuma das demais alternativas -pi2 0 0 2
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
l (t-2) y^prime prime+y^prime+(t-2)(tg t) y=0 y(1)=1 y^prime(1)=2
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e mais especificamente, condições de existência e unicidade de soluções para essas equações. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividimos todos os termos por $ t - 2 $ (desde que $ t \ne 2 $) para isolar $ y’’ $:
t - 2
Agora, nossa equação está na forma:
t ne 2
onde $ P(t) = \frac{1}{t-2} $ e $ Q(t) = \operatorname{tg} t $.
Passo 3
O próximo passo é verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem. O teorema afirma que se as funções $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuas em um intervalo aberto contendo o ponto inicial $ t_0 $, então existe uma única solução duas vezes diferenciável nesse intervalo.
Então, precisamos identificar onde $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuas.
Passo 4
Vamos analisar $ P(t) = \frac{1}{t-2} $ e $ Q(t) = \operatorname{tg} t $:
Para $ P(t) = \frac{1}{t-2} $:
A função é contínua para todos $ t $ exceto $ t = 2 $, onde há uma descontinuidade (polo).
Para $ Q(t) = \operatorname{tg} t $:
A função tangente é contínua onde está definida, mas tem descontinuidades em $ t = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é inteiro.
Passo 5
Sabendo disso, precisamos encontrar o maior intervalo que contenha o ponto inicial $ t_0 = 1 $ e que não inclua pontos de descontinuidade de $ P(t) $ e $ Q(t) $.
O primeiro ponto de descontinuidade após $ t = 1 $ para $ P(t) $ é $ t = 2 $.
Para $ Q(t) $, os primeiros pontos de descontinuidade são $ t = \frac{\pi}{2} $ (~1.57) e $ t = \frac{3\pi}{2} $ (~4.71).
Então, o intervalo mais restrito que contém $ t = 1 $ e não inclui nenhuma descontinuidade é de $ t = -\infty $ até $ t = 2 $.
Passo 6
Comparando com as opções fornecidas:
-infty → Não, pois a solução pode se estender além de $ t = 1 $.
Nenhuma das demais alternativas → Possível.
t = 1 → Não abrange todo o intervalo até $ -\infty $.
-pi2 → Inclui $ t = 2 $ onde há descontinuidade.
-infty → Inclui $ t = 2 $, descontinuidade.
0 → Não contém $ t = 1 $.
A única opção que corresponde ao intervalo correto de existência e unicidade é quando $ -\infty < t < 2 $. Porém, essa opção não está presente. A opção mais próxima é t = 2 , mas não cobre todo o necessário.