Seja f: R R.
(a) Assumindo que lim x 2 f(x)x^2=1, calcule lim x 2 f(x)x.
Resp.: 2.
(b) Assumindo que lim x 0 f(x)x=0, calcule lim x 0 f(x).
Resp.: 0 .
© Assumindo que lim x +infty f(x)x^2+x=+infty, calcule lim x +infty f(x).
Resp.: +infty.

Passo 1

Neste exercício, temos uma função f: ℝ→ℝ e três situações de limites envolvendo quocientes e produtos; vamos usar propriedades básicas de limites, como que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem) e transformação algébrica de quocientes.

Passo 2

Para (a), escrevemos f(x)x = f(x)x^2 cdot x. Aplicando limite em ambos os lados quando x→2 e usando que limxto2 f(x)/x^2 = 1 e limxto2 x = 2, obtemos 1 cdot 2 = 2.

Passo 3

Para (b), observamos que f(x) = x cdot f(x)x. Aplicando limite quando x→0 e usando que limxto0 f(x)/x = 0 e limxto0 x = 0, o produto 0 cdot 0 nos dá 0.

Passo 4

Para ©, reescrevemos f(x) = f(x)x^2 + x cdot (x^2 + x). Como limxto+infty f(x)/(x^2+x) = +infty e limxto+infty (x^2 + x) = +infty, o produto de dois infinitos positivos é +infty.

Resposta

a) 2; b) 0; c) +infty.

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