Resumo: a gente precisa resolver a equação do calor
u_t = u_{xx}
no segmento 0 < x < 1, com as condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condição inicial f(x)= x para x∈[0,1/2] e f(x)=1−x para x∈[1/2,1]. O conteúdo é Separação de Variáveis e Série de Fourier senoidal.
Passo 2
Vamos usar Separação de Variáveis. Assumimos u(x,t)=X(x)
T(t). Substituindo em u_t = u_{xx} dá
X(x) T'(t)=X''(x) T(t)
Dividindo por X·T ficamos com
T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde λ é constante de separação.
Passo 3
A parte espacial satisfaz
X''(x)+lambda X(x)=0,
com
X(0)=X(1)=0.
As soluções não-triviais surgem para λ_n = n2π2 e
enx(x)=\sin(nπx), n=1,2,3, ….
A parte temporal fica
T'(t)=-λn T(t)
o que leva a T_n(t)=e{-n2π^2 t}.
Passo 4
A solução geral é combinação linear dos modos:
u(x,t)=sumn=1^infty An,e^-n^2π^2 tsin(nπx)
Para achar A_n usamos a condição inicial u(x,0)=f(x):
f(x)=sumn=1^inftyAnsin(nπx)
Pela ortogonalidade das senos,
An=2integral0^1f(x)sin(nπx),dx
Passo 5
Agora calculamos A_n separando em duas integrais:
I1=integral0^1/2xsin(nπx),dx,
I2=integral1/2^1(1-x)sin(nπx),dx
Fazendo integração por partes em cada uma (u=x ou u=1−x, dv=\sin(nπx)dx), chegamos a