l ux x=ut u(0, t)=u(1, t)=0 u(x, 0)=f(x)
onde
f(x)= x, & 0 <= x <= 1 / 2 1-x, & 1 / 2 <= x <= 1

Passo 1

Resumo: a gente precisa resolver a equação do calor
u_t = u_{xx}
no segmento 0 < x < 1, com as condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condição inicial f(x)= x para x∈[0,1/2] e f(x)=1−x para x∈[1/2,1]. O conteúdo é Separação de Variáveis e Série de Fourier senoidal.

Passo 2

Vamos usar Separação de Variáveis. Assumimos u(x,t)=X(x)
T(t). Substituindo em u_t = u_{xx} dá
X(x) T'(t)=X''(x) T(t)
Dividindo por X·T ficamos com
T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde λ é constante de separação.

Passo 3

A parte espacial satisfaz
X''(x)+lambda X(x)=0,
com
X(0)=X(1)=0.
As soluções não-triviais surgem para λ_n = n2 e
enx(x)=\sin(nπx), n=1,2,3, ….
A parte temporal fica
T'(t)=-λn T(t)
o que leva a T_n(t)=e{-n2π^2 t}.

Passo 4

A solução geral é combinação linear dos modos:
u(x,t)=sumn=1^infty An,e^-n^2π^2 tsin(nπx)
Para achar A_n usamos a condição inicial u(x,0)=f(x):
f(x)=sumn=1^inftyAnsin(nπx)
Pela ortogonalidade das senos,
An=2integral0^1f(x)sin(nπx),dx

Passo 5

Agora calculamos A_n separando em duas integrais:
I1=integral0^1/2xsin(nπx),dx,
I2=integral1/2^1(1-x)sin(nπx),dx
Fazendo integração por partes em cada uma (u=x ou u=1−x, dv=\sin(nπx)dx), chegamos a
I1+I2=2sinl(nπ2r)n^2π^2
Logo
An=2(I1+I2)=4sinl(nπ2r)n^2π^2

Passo 6

Substituindo em u(x,t) obtemos a forma final:
u(x,t)=sumn=1^infty4sinl(nπ2r)n^2π^2e^-n^2π^2 tsin(nπx)

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty4sinl(nπ2r)n^2π^2e^-n^2π^2 tsin(nπx)

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