l x1^prime=2 x1+3 x2 x1(0)=2 x2(0)=3 x2^prime=2 x1+x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais, que são usadas para modelar mudanças em sistemas dinâmicos. No nosso caso, temos duas funções, $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, que mudam ao longo do tempo. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como a diagonalização de matrizes ou o método dos autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial para facilitar o trabalho. Temos:
x1^prime = 2x1 + 3x2 x2^prime = 2x1 + x2
Podemos escrever isso como:
x' = Ax
Onde:
A = 2 & 3 2 & 1 , x = x1 x2

Passo 3

O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores nos dizem como as soluções se comportam no tempo. Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante:
A
Então:
det(A - lambda I) = 0
Resolvendo a equação quadrática:
det 2 - lambda & 3 2 & 1 - lambda = (2 - lambda)(1 - lambda) - 6 = lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Então, os autovalores são:
lambda = 3 pm raiz(3)^2 - 4(1)(-4)2 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com $ \lambda_1 = 4 $:
lambda1 = 4
Isso nos dá a relação $ -2v_1 + 3v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = \frac{3}{2}v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 2 $ para simplificar, então:
(A - 4I)v = 0 Rightarrow -2 & 3 2 & -3 v1 v2 = 0 0

Passo 5

Fazendo o mesmo para $ \lambda_2 = -1 $:
lambda2 = -1
Isso nos dá $ 3v_1 + 3v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = -v_2 $. Escolhendo $ v_2 = 1 $:
(A + I)v = 0 Rightarrow 3 & 3 2 & 2 v1 v2 = 0 0

Passo 6

Agora, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que temos:
x(t) = C1 e^4t 3 2 + C2 e^-t -1 1
O que dá:
x1(t) = 3C1 e^4t - C2 e^-t x2(t) = 2C1 e^4t + C2 e^-t

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que quando $ t = 0 $:
C1
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C2
Somando as duas equações:
t = 0
Substituindo $ C_1 = 1 $ na segunda equação:
x1(0) = 2 = 3C1 - C2 x2(0) = 3 = 2C1 + C2

Resposta

Substituindo $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = 1 $ na solução geral, temos:
C1 = 1

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