Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais, que são usadas para modelar mudanças em sistemas dinâmicos. No nosso caso, temos duas funções, $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, que mudam ao longo do tempo. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como a diagonalização de matrizes ou o método dos autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial para facilitar o trabalho. Temos:
Podemos escrever isso como:
Onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz $ A $. Os autovalores nos dizem como as soluções se comportam no tempo. Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com $ \lambda_1 = 4 $:
Isso nos dá a relação $ -2v_1 + 3v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = \frac{3}{2}v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 2 $ para simplificar, então:
Passo 5
Fazendo o mesmo para $ \lambda_2 = -1 $:
Isso nos dá $ 3v_1 + 3v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = -v_2 $. Escolhendo $ v_2 = 1 $:
Passo 6
Agora, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores que temos:
O que dá:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que quando $ t = 0 $:
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Somando as duas equações:
Substituindo $ C_1 = 1 $ na segunda equação:
Resposta
Substituindo $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = 1 $ na solução geral, temos: