l y^prime prime+6 y^prime-7 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial y''+6y'-7y=0 com y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Montamos a equação característica associada a y''+6y'-7y=0:
r^2 + 6r - 7 = 0
Resolvendo-a:
r = -6 pm raiz36 + 282 = -6 pm 82,
logo as raízes são r1 = 1 e r2 = -7.

Passo 3

A solução geral da ODE é
y(x) = A e^r1 x + B e^r2 x = A e^x + B e^-7x
Para usar as condições iniciais, calculamos também a derivada:
y'(x) = A e^x - 7 B e^-7x

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=A+B=1, y'(0)=A - 7B = 0
Resolvendo o sistema, obtemos A=7/8 e B=1/8.

Resposta

y(x)=tfrac78e^x+tfrac18e^-7x

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