l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
y -1 quando t to infty
Nenhuma das demais alternativas
y infty quando t to infty
y 1 quando t to infty
y -infty quando t to infty
y 0 quando t to infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é descobrir como a solução dessa equação se comporta quando o tempo $ t $ tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e suas soluções gerais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
y'' + 8y' - 9y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente precisa encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ permanece:
r
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 8r - 9 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 8r - 9 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 8 $, e $ c = -9 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto, temos duas raízes:
a = 1

Passo 5

Com as raízes $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -9 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = 1
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.

Passo 6

As condições iniciais são $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 0 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(t) $:
y(1) = 1
Agora, aplicamos $ t = 1 $:
y'(1) = 0
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
y(t)

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
C1 e = 9C2 e^-9 C1 = 9C2 e^-10
Substituindo na primeira equação:
9C2 e^-10 cdot e + C2 e^-9 = 1 9C2 e^-9 + C2 e^-9 = 1 (9 + 1) C2 e^-9 = 1 10 C2 e^-9 = 1 C2 = 110 e^9
Agora, substituindo $ C_2 $ na expressão para $ C_1 $:
C2

Passo 8

Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução específica é:
C1

Passo 9

Vamos analisar o comportamento dessa solução quando $ t $ tende ao infinito:
  • $ e^{t -1} $ cresce exponencialmente porque o expoente aumenta sem limite.
  • $ e^{9 -9t} $ tende a zero porque o expoente se torna muito negativo.
Portanto, o termo dominante é $ \frac{9}{10} e^{t -1} $, que tende ao infinito.

Resposta

$ y \rightarrow \infty $ quando $ t $ tende a $ \infty $.

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