Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y -1 quando t to infty
Nenhuma das demais alternativas y infty quando t to infty y 1 quando t to infty y -infty quando t to infty y 0 quando t to infty
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é descobrir como a solução dessa equação se comporta quando o tempo $ t $ tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e suas soluções gerais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
y'' + 8y' - 9y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente precisa encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ permanece:
r
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 8r - 9 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 8r - 9 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 8 $, e $ c = -9 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto, temos duas raízes:
a = 1
Passo 5
Com as raízes $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -9 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = 1
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Passo 6
As condições iniciais são $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 0 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(t) $:
y(1) = 1
Agora, aplicamos $ t = 1 $:
y'(1) = 0
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: