Questão 8. Sejam S1=sumn=0^infty 5^n^2-2 n+66^n^2-4 n+2 e S2= sumn=0^infty 7^n^3-3 n-16^n^3-2 n+1. Assinale a alternativa correta:
S1 converge e S2 diverge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos duas somas infinitas, $ S_1 $ e $ S_2 $, e precisamos descobrir se elas convergem ou divergem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar o comportamento de cada termo quando $ n $ cresce para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série $ S_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}-2n+6}}{6{n{2}-4n+2}} $. Para entender o comportamento dessa série, podemos simplificar a expressão dos termos.

Passo 3

Vamos reescrever o termo geral de $ S_1 $:
S1

Passo 4

Observando (56)^n^2, vemos que a base $ \frac{5}{6} $ é menor que 1, e o expoente $ n^{2} $ cresce muito rápido. Isso faz com que 56 tenda a zero rapidamente conforme $ n $ aumenta.

Passo 5

Além disso, o termo (65)^4n também cresce, mas de forma exponencialmente mais lenta comparado a (56)^n^2. Portanto, o termo geral de $ S_1 $ tende a zero quando $ n $ vai para o infinito.

Passo 6

Segundo o Teste da Série Geométrica, se o termo geral tende a zero, a série pode convergir. Como (56)^n^2 diminui para zero muito rapidamente, concluímos que $ S_1 $ converge.

Passo 7

Agora, vamos olhar para a série $ S_2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7{n{3}-3n-1}}{6{n{3}-2n+1}} $. Vamos simplificar o termo geral:
S2 = sumn=0^infty 7^n^3-3n-16^n^3-2n+1

Passo 8

Observando (76)^n^3, a base $ \frac{7}{6} $ é maior que 1, e o expoente $ n^{3} $ cresce muito rapidamente. Isso faz com que 76 cresça exponencialmente conforme $ n $ aumenta.

Passo 9

Como o termo geral de $ S_2 $ tende a infinito quando $ n $ vai para o infinito, a série não satisfaz a condição necessária para convergir. Pelo contrário, os termos ficam cada vez maiores.

Passo 10

Portanto, de acordo com o Critério da Divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Assim, $ S_2 $ diverge.

Resposta

A alternativa está correta: $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.

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