Questão 8. Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
converge e
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos duas somas infinitas, $ S_1 $ e $ S_2 $, e precisamos descobrir se elas convergem ou divergem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar o comportamento de cada termo quando $ n $ cresce para infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série $ S_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}-2n+6}}{6{n{2}-4n+2}} $. Para entender o comportamento dessa série, podemos simplificar a expressão dos termos.
Passo 3
Vamos reescrever o termo geral de $ S_1 $:
Passo 4
Observando
, vemos que a base $ \frac{5}{6} $ é menor que 1, e o expoente $ n^{2} $ cresce muito rápido. Isso faz com que
tenda a zero rapidamente conforme $ n $ aumenta.
Passo 5
Além disso, o termo
também cresce, mas de forma exponencialmente mais lenta comparado a
. Portanto, o termo geral de $ S_1 $ tende a zero quando $ n $ vai para o infinito.
Passo 6
Segundo o Teste da Série Geométrica, se o termo geral tende a zero, a série pode convergir. Como
diminui para zero muito rapidamente, concluímos que $ S_1 $ converge.
Passo 7
Agora, vamos olhar para a série $ S_2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7{n{3}-3n-1}}{6{n{3}-2n+1}} $. Vamos simplificar o termo geral:
Passo 8
Observando
, a base $ \frac{7}{6} $ é maior que 1, e o expoente $ n^{3} $ cresce muito rapidamente. Isso faz com que
cresça exponencialmente conforme $ n $ aumenta.
Passo 9
Como o termo geral de $ S_2 $ tende a infinito quando $ n $ vai para o infinito, a série não satisfaz a condição necessária para convergir. Pelo contrário, os termos ficam cada vez maiores.
Passo 10
Portanto, de acordo com o Critério da Divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Assim, $ S_2 $ diverge.
Resposta
A alternativa está correta: $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.