Questão 8. Sejam S1=sumn=0^infty 5^n^2-2 n+66^n^2-4 n+2 e S2= sumn=0^infty 7^n^3-3 n-16^n^3-2 n+1. Assinale a alternativa correta:
Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define duas séries infinitas e pede para identificar qual alternativa é verdadeira entre as dadas, sendo a última delas “Nenhuma das outras alternativas é verdadeira”. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar principalmente o teste da razão e o teste do termo geral para séries.

Passo 2

Para a série S1=sumn=0^infty an com an=dfrac5^n^2-2n+66^n^2-4n+2, aplicamos o teste da razão. Calculamos
an+1an = 5^(n+1)^2-2(n+1)+66^(n+1)^2-4(n+1)+2cdot 6^n^2-4n+25^n^2-2n+6 = 2165(2536)^n
Como 25/36<1, temos
limntoinftyan+1an=0<1,
logo S1 converge absolutamente.

Passo 3

Para a série S2=sumn=0^infty bn com bn=dfrac7^n^3-3n-16^n^3-2n+1, basta olhar o termo geral. Reescrevendo, obtemos
bn=142l(76r)^n^3l(36343r)^n
Como (7/6)^n^3 cresce muito mais rápido que qualquer fator decrescente em n, segue que
limntoinftybn=inftyneq0
Logo o termo geral não tende a zero e S2 diverge pelo teste do termo geral.

Passo 4

Concluindo, temos que S1 converge e S2 diverge. Nenhuma das alternativas padrão (por exemplo “ambas convergem”, “ambas divergem”, “S_{1} diverge e S_{2} converge”, etc.) coincide com esse resultado. Portanto, a alternativa correta é “Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.”

Resposta

Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

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