Questão 8. Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Passo 1
O enunciado define duas séries infinitas e pede para identificar qual alternativa é verdadeira entre as dadas, sendo a última delas “Nenhuma das outras alternativas é verdadeira”. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar principalmente o teste da razão e o teste do termo geral para séries.
Passo 2
Para a série
com
, aplicamos o teste da razão. Calculamos
Como
, temos
logo
converge absolutamente.
Passo 3
Para a série
com
, basta olhar o termo geral. Reescrevendo, obtemos
Como
cresce muito mais rápido que qualquer fator decrescente em
, segue que
Logo o termo geral não tende a zero e
diverge pelo teste do termo geral.
Passo 4
Concluindo, temos que
converge e
diverge. Nenhuma das alternativas padrão (por exemplo “ambas convergem”, “ambas divergem”, “S_{1} diverge e S_{2} converge”, etc.) coincide com esse resultado. Portanto, a alternativa correta é “Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.”
Resposta
Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.