Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y 0 quando t infty y -1 quando t infty y infty quando t infty
Nenhuma das demais alternativas y 1 quando t infty y -infty quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
l 4 y^prime prime-y=0 y(-2)=1 y^prime(-2)=-1
O objetivo é descobrir qual o comportamento da solução $ y(t) $ quando $ t $ tende ao infinito, ou seja, qual valor $ y(t) $ se aproxima conforme $ t $ aumenta bastante. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
4 y^prime prime - y = 0
Para resolver isso, a gente cria a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rt} $:
y
Resolvendo para $ r $:
e^rt
Passo 3
Com as raízes da equação característica em mãos, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^12 t + C2 e^-12 t
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais dadas.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeira condição: $ y(-2) = 1 $
C1
Segunda condição: $ y^{\prime}(-2) = -1 $
Primeiro, vamos derivar $ y(t) $:
C2
Agora, aplique $ t = -2 $:
y(-2) = 1
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar: