l 4 y^prime prime-y=0 y(-2)=1 y^prime(-2)=-1
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
y 0 quando t infty
y -1 quando t infty
y infty quando t infty
Nenhuma das demais alternativas
y 1 quando t infty
y -infty quando t infty

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
l 4 y^prime prime-y=0 y(-2)=1 y^prime(-2)=-1
O objetivo é descobrir qual o comportamento da solução $ y(t) $ quando $ t $ tende ao infinito, ou seja, qual valor $ y(t) $ se aproxima conforme $ t $ aumenta bastante. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
4 y^prime prime - y = 0
Para resolver isso, a gente cria a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rt} $:
y
Resolvendo para $ r $:
e^rt

Passo 3

Com as raízes da equação característica em mãos, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^12 t + C2 e^-12 t
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais dadas.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
  1. Primeira condição: $ y(-2) = 1 $
C1
  1. Segunda condição: $ y^{\prime}(-2) = -1 $
Primeiro, vamos derivar $ y(t) $:
C2
Agora, aplique $ t = -2 $:
y(-2) = 1
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
1 = C1 e^12 (-2) + C2 e^-12 (-2) 1 = C1 e^-1 + C2 e^1

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 e^-1 + C2 e^1 = 1 C1 e^-1 - C2 e^1 = -2
Somando as duas equações:
2 C1 e^-1 = -1 implies C1 = -e2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2 C2 e^1 = 3 implies C2 = 32 e

Passo 6

Agora que temos $ C_{1} $ e $ C_{2} $, podemos escrever a solução completa:
C1
Simplificando:
C2

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ quando $ t $ tende ao infinito.
  • O termo $ e^{\frac{1}{2} t} $ cresce exponencialmente conforme $ t $ aumenta.
  • O termo $ e^{-\frac{1}{2} t} $ tende a zero conforme $ t $ aumenta.
Portanto, o termo dominante é $ -\frac{e}{2} e^{\frac{1}{2} t} $, que tende a $ -\infty $ quando $ t $ vai para $ \infty $.

Resposta

$ y \rightarrow -\infty $ quando $ t \rightarrow \infty $

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