Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
x y^prime=x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação: $ x y’ = x + y $. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial, que envolve derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações desse tipo e aplicar métodos de resolução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação mais simples isolando $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ x $, temos:
y'
Agora, nossa equação fica:
x

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear da forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde:
  • $ P(x) = -\frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = 1 $
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 4

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Isso simplifica nossa equação.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \frac{1}{x} $:
1x
O lado esquerdo agora é a derivada de $ \frac{y}{x} $:
1x y' - 1x^2 y = 1x

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso nos dá:
integral ddx( yx ) , dx = integral 1x , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação é:
y = x ln x + Cx
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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