Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação: $ x y’ = x + y $. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial, que envolve derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações desse tipo e aplicar métodos de resolução passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação mais simples isolando $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ x $, temos:
Agora, nossa equação fica:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear da forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde:
- $ P(x) = -\frac{1}{x} $
- $ Q(x) = 1 $
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 4
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Isso simplifica nossa equação.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \frac{1}{x} $:
O lado esquerdo agora é a derivada de $ \frac{y}{x} $:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso nos dá:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.