\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}=\overrightarrow{\mathrm{i}}+\overrightarrow{\mathrm{j}} \quad \text { aplicada no ponto } \mathrm{O}(0,0,0) \\\ & \overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}=\overrightarrow{\mathrm{l}}+\overrightarrow{\mathrm{k}} \quad \text { aplicada no ponto } \mathrm{A}(1,0,1) \\\ & \overrightarrow{\mathrm{F}}_{3}=\overrightarrow{\mathrm{j}}-\overrightarrow{\mathrm{k}} \quad \text { aplicada no ponto } \mathrm{B}(0,1,1) \end{aligned}
a) determinar a resultante e o momento em relação ao ponto O ;
b) verificar se o sistema é redutível a uma única força.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de três forças em \mathbb{R}^3: \overrightarrow F_{1}=\overrightarrow i+\overrightarrow j em O(0,0,0), \overrightarrow F_{2}=\overrightarrow i+\overrightarrow k em A(1,0,1), \overrightarrow F_{3}=\overrightarrow j-\overrightarrow k em B(0,1,1).
Vamos usar:
A resultante \overrightarrow R=\sum \overrightarrow F_{i}.
O momento em O, \overrightarrow M_{O}=\sum \overrightarrow r_{i}\times\overrightarrow F_{i}, onde \overrightarrow r_{i} é o vetor posição do ponto de aplicação de \overrightarrow F_{i}.
Para saber se dá para reduzir a um único vetor força, verificar se \overrightarrow M_{O} é paralelo a \overrightarrow R.
\overrightarrow R =(1+1+0)\,\overrightarrow i + (1+0+1)\,\overrightarrow j + (0+1-1)\,\overrightarrow k =2\,\overrightarrow i + 2\,\overrightarrow j + 0\,\overrightarrow k.
Passo 3
Calcular o momento em O.
Para \overrightarrow F_{1} em O, \overrightarrow r_{1}=(0,0,0) dá \overrightarrow r_{1}\times\overrightarrow F_{1}=\overrightarrow0.
Para \overrightarrow F_{2} em A, \overrightarrow r_{2}=(1,0,1) e \overrightarrow F_{2}=(1,0,1), então
Para \overrightarrow F_{3} em B, \overrightarrow r_{3}=(0,1,1) e \overrightarrow F_{3}=(0,1,-1), logo
\overrightarrow M_{3} =\overrightarrow r_{3}\times\overrightarrow F_{3} =\begin{vmatrix} \overrightarrow i & \overrightarrow j & \overrightarrow k\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} =-2\,\overrightarrow i + 0\,\overrightarrow j + 0\,\overrightarrow k =-2\,\overrightarrow i.
Assim
\overrightarrow M_{O} =\overrightarrow M_{1}+\overrightarrow M_{2}+\overrightarrow M_{3} =\overrightarrow0+\overrightarrow0-2\,\overrightarrow i =-2\,\overrightarrow i.
Passo 4
Verificar se o sistema reduz a uma única força.
Isso ocorre se e somente se \overrightarrow M_{O} for paralelo a \overrightarrow R, i.e.\ existir \lambda tal que \overrightarrow M_{O}=\lambda\,\overrightarrow R.
Aqui \overrightarrow R=(2,2,0) e \overrightarrow M_{O}=(-2,0,0).
Tentando \lambda, da componente i teríamos -2=\lambda\cdot2\implies\lambda=-1,
mas da componente j daria 0=\lambda\cdot2\implies\lambda=0.
Não há \lambda que satisfaça ambas, logo não são paralelos e não dá para reduzir a uma única força.
Resposta
(a) \displaystyle \overrightarrow R=2\,\overrightarrow i+2\,\overrightarrow j, \displaystyle \overrightarrow M_{O}=-2\,\overrightarrow i.
(b) O sistema não é redutível a uma única força.