Uma fonte luminosa pontual emite isotropicamente com uma potência
° de 100 W . Considere que a luz emitida possa ser descrita como uma onda harmônica progressiva de comprimento de onda, λ=0,5 μm.
Escreva a onda progressiva correspondente aos campos elétricos e magnéticos na forma, E₀ Sen(Kx-wt), B₀ Sen(Kx-wt), a 4 m do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado diz que uma fonte pontual emite isotropicamente com potência P=100\\ \mathrm{W} e que a luz tem comprimento de onda \lambda=0,5\\ \mu\mathrm{m}. Queremos escrever, a r=4\\ \mathrm{m} do centro, as ondas harmônicas progressivas dos campos elétrico e magnético na forma
E(x,t)=E_{0}\,\sin(kx-\omega t), \quad B(x,t)=B_{0}\,\sin(kx-\omega t).
Para isso vamos precisar (1) achar a intensidade I a r=4\\ \mathrm{m}, (2) relacionar I com E_{0} e B_{0}, e (3) calcular k e \omega.

Passo 2

A intensidade média de uma onda esférica emitida isotropicamente a distância r é
I(r)=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Substituindo P=100\\ \mathrm{W} e r=4\\ \mathrm{m} obtemos
I(4)=\frac{100}{4\pi\,(4)^{2}} =\frac{100}{64\pi} \approx0,497\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 3

Em uma onda eletromagnética livre vale
I=\frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,c\,E_{0}^{2},
onde \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Então
E_{0}=\sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_{0}c}} =\sqrt{\frac{2\cdot0,497}{8{,}854\times10^{-12}\cdot3{,}0\times10^{8}}} \approx19{,}4\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

O módulo máximo do campo magnético satisfaz
B_{0}=\frac{E_{0}}{c} =\frac{19{,}4}{3{,}0\times10^{8}} \approx6{,}47\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

O número de onda k e a frequência angular \omega são dados por
k=\frac{2\pi}{\lambda} =\frac{2\pi}{0,5\times10^{-6}} \approx1{,}26\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},
\omega = c\,k \approx3{,}0\times10^{8}\times1{,}26\times10^{7} \approx3{,}77\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Finalmente, escolhendo o eixo x na direção radial de propagação, as ondas são
E(x,t)=19{,}4\\ \sin\bigl(1{,}26\times10^{7}\,x-3{,}77\times10^{15}\,t\bigr) \quad(\mathrm{V/m}),
B(x,t)=6{,}47\times10^{-8}\\ \sin\bigl(1{,}26\times10^{7}\,x-3{,}77\times10^{15}\,t\bigr) \quad(\mathrm{T}).

Resposta

E(x,t)=19{,}4\\ \sin\bigl(1{,}26\times10^{7}\,x-3{,}77\times10^{15}\,t\bigr)\\ \mathrm{V/m},
B(x,t)=6{,}47\times10^{-8}\\ \sin\bigl(1{,}26\times10^{7}\,x-3{,}77\times10^{15}\,t\bigr)\\ \mathrm{T}.

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