Determinar o fator integrante adequado e resolver as equações diferenciais
resposta:
Passo 1
Resumo: A equação dada é
Ela não é exata. O conteúdo é Equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos precisar testar exatidão, tentar fator integrante e, depois, obter a função potencial que gera a solução implícita.
Passo 2
Teste de exatidão: calcule
e
.
Como
, não é exata.
Passo 3
Busca do fator integrante: percebemos que a não-exatidão depende de
. Vamos procurar
. A condição geral leva a
o que integra para
Passo 4
Aplicação do fator integrante: multiplicamos a equação original por
Com isso a nova forma
torna-se exata.
Passo 5
Construção da função potencial: integramos
em relação a
, obtemos a parte dependente de
. Em seguida ajustamos a função de
para que a derivada em
coincida com
. O resultado final é
de modo que a solução geral é
Resposta
e^{-x/y} + \ln(y) = C