Determinar o fator integrante adequado e resolver as equações diferenciais
(y e^-x / y) d x+(x e^-x / y+y) d y=0 ; resposta: e^-x / y+ln (y)=C

Passo 1

Resumo: A equação dada é
y,e^-x/y,dx ;+ l(x,e^-x/y+yr),dy = 0
Ela não é exata. O conteúdo é Equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos precisar testar exatidão, tentar fator integrante e, depois, obter a função potencial que gera a solução implícita.

Passo 2

Teste de exatidão: calcule M(x,y)=y e^-x/y e N(x,y)=x e^-x/y+y.
My = e^-x/yl(1+tfracxyr), Nx = e^-x/yl(1-tfracxyr)
Como Myneq Nx, não é exata.

Passo 3

Busca do fator integrante: percebemos que a não-exatidão depende de u=x/y. Vamos procurar mu=mu(u). A condição geral leva a
dlnmudu =2u e^-u2u e^-u+1,
o que integra para
lnmu = -lnl(2u e^-u+1r) + C Longrightarrow mu(u)=12u e^-u+1

Passo 4

Aplicação do fator integrante: multiplicamos a equação original por
mul(x/yr) =12,(x/y),e^-x/y+1 =y2x e^-x/y+y
Com isso a nova forma mu M,dx+mu N,dy=0 torna-se exata.

Passo 5

Construção da função potencial: integramos mu M em relação a x, obtemos a parte dependente de x/y. Em seguida ajustamos a função de y para que a derivada em y coincida com mu N. O resultado final é
F(x,y)=e^-x/y+ln y,
de modo que a solução geral é
e^-x/y+ln y = C

Resposta

e^{-x/y} + \ln(y) = C

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