Sabe-se por experiência que 5 % da produção de um determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. De 600 peças produzidas por ele (escolhidas aleatoriamente), 82 delas se mostraram defeituosas. Teste a hipótese de que o novo empregado produz peças com maior porcentagem de defeitos que o conhecido, com nível de significância de 5%. Qual sua conclusão?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente sabe que normalmente 5% das peças produzidas são defeituosas. Agora, um novo funcionário foi contratado e, das 600 peças que ele produziu, 82 estavam defeituosas. A gente precisa testar a hipótese de que esse novo empregado está produzindo com uma porcentagem de defeitos maior que os 5% conhecidos, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese para proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é que a porcentagem de defeitos do novo funcionário é igual à conhecida, ou seja, 5%. A hipótese alternativa (H₁) é que a porcentagem de defeitos é maior que 5%. Matemáticamente, fica assim:
H0: p = 0,05
H1: p > 0,05

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção de defeitos observada pelo novo empregado. Isso é feito dividindo o número de peças defeituosas pelo total de peças produzidas:
p = 82600 approx 0,1367 ou 13,67%

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão é:
Erro Padrão = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,05 times 0,95600 approx raiz0,0475600 approx raiz0,00007917 approx 0,0089 ã

Passo 5

Com isso, podemos calcular o valor do teste Z, que nos diz quantos erros padrões a nossa proporção observada está acima da hipótese nula:
Z = p - p0Erro Padrão = 0,1367 - 0,050,0089 approx 0,08670,0089 approx 9,75 ã

Passo 6

Agora, vamos comparar esse valor de Z com o valor crítico da distribuição normal para um teste unilateral com nível de significância de 5%. O valor crítico para 5% é aproximadamente 1,645.
Como nosso Z calculado (≈9,75) é muito maior que 1,645, isso significa que está na região de rejeição da hipótese nula.

Passo 7

Também podemos calcular o valor-p, que é a probabilidade de observarmos uma proporção tão extrema quanto a que observamos, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira. Com um Z de 9,75, o valor-p é praticamente 0, o que é menor que 0,05 (5%).

Resposta

Como o valor de Z (≈9,75) é muito maior que o valor crítico de 1,645 e o valor-p é menor que 5%, a gente rejeita a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que o novo empregado produz peças com uma porcentagem de defeitos maior que os 5% conhecidos.

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