Um processo de fabricação de bobinas de papel apresenta uma média de dois defeitos por metro. Determine a probabilidade de um \mathrm{m}^{2} ter exatamente um defeito, admitindo que o processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a probabilidade de um \mathrm{m}^{2} ter exatamente um defeito, admitindo que o processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.”\n
Dados fornecidos pelo enunciado:\n
  • A média dada é “dois defeitos por metro” (o enunciado literal diz isso).\n
  • O problema admite que podemos usar a distribuição de Poisson para modelar o número de defeitos.\n
  • A quantidade sobre a qual queremos a probabilidade é um \mathrm{m}^{2} (um metro quadrado) e queremos a probabilidade de exatamente um defeito nesse \mathrm{m}^{2}.\n

Passo 2

Vou clarificar uma sutileza sobre unidades: o enunciado diz “dois defeitos por metro” e pede a probabilidade para "um \mathrm{m}^{2}". Para seguir adiante assumimos que a taxa informada refere-se à mesma unidade de área que o problema pede (ou seja, que a média é de dois defeitos por \mathrm{m}^{2}). Esta é uma hipótese natural quando o enunciado mistura “metro” com “m²” sem converter — e sem essa interpretação não há como relacionar taxa e área. Então, adotamos que a média esperada de defeitos em 1\\ \mathrm{m}^2 é \lambda=2.\n
(Se você tiver certeza de que o enunciado original queria outra coisa, diga; mas para resolver precisamos dessa hipótese.)

Passo 3

Apresentando a ferramenta: a distribuição de Poisson.\n
  • A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, comprimento, área etc.), quando essas ocorrências são independentes e a taxa média é constante.\n
  • A grandeza \lambda (lambda) representa a média esperada do número de eventos no intervalo considerado. No nosso caso \lambda é a média de defeitos em 1\\ \mathrm{m}^2.\n
  • A fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é:\n
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
Aqui X é a variável aleatória que conta defeitos no intervalo; k! é o fatorial de k (por exemplo, 1!=1, 2!=2\cdot1=2).\n
Vou usar essa fórmula com k=1 e \lambda=2.

Passo 4

Substituindo k=1 e \lambda=2 na fórmula da Poisson:\n
P(X=1)=\frac{2^{1} e^{-2}}{1!}
Calcule passo a passo:\n
  • 2^{1}=2.\n
  • 1!=1.\n
    Portanto,\n
P(X=1)=2 e^{-2}.

Passo 5

Agora vamos obter um valor numérico aproximado para 2 e^{-2}.\n
  • Sabemos que e\approx 2,7182818. Então e^{2}\approx 2,7182818^{2}\approx 7,389056.\n
  • Logo e^{-2}=\dfrac{1}{e^{2}}\approx \dfrac{1}{7,389056}\approx 0,135335.\n
  • Multiplicando por 2: 2 e^{-2}\approx 2\times 0,135335\approx 0,270670.\n
    Arredondando de forma usuais para 4 casas decimais, obtemos 0,2707.\n

Passo 6

Interpretação final e dica para prova:\n
  • A resposta exata é 2e^{-2}. Se pedirem forma fechada deixe assim; se pedirem valor numérico, use a aproximação 0,2707.\n
  • Dica prática: em provas é comum que a taxa dada já seja para a mesma unidade do pedaço analisado; sempre cheque unidades. Para calcular probabilidades com Poisson memoriza a fórmula \dfrac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} e saiba identificar \lambda como a média no intervalo/área em questão.\n
    Força aí — deu trabalho, mas é direto quando você identifica \lambda e aplica a fórmula.

Resposta

\;2e^{-2}\approx 0,2707

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