Um processo de fabricação de bobinas de papel apresenta uma média de dois defeitos por metro. Determine a probabilidade de um
ter exatamente um defeito, admitindo que o processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a probabilidade de um
ter exatamente um defeito, admitindo que o processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.”\n
Dados fornecidos pelo enunciado:\n
Dados fornecidos pelo enunciado:\n
- A média dada é “dois defeitos por metro” (o enunciado literal diz isso).\n
- O problema admite que podemos usar a distribuição de Poisson para modelar o número de defeitos.\n
- A quantidade sobre a qual queremos a probabilidade é um
(um metro quadrado) e queremos a probabilidade de exatamente um defeito nesse .\n
Passo 2
Vou clarificar uma sutileza sobre unidades: o enunciado diz “dois defeitos por metro” e pede a probabilidade para "um
". Para seguir adiante assumimos que a taxa informada refere-se à mesma unidade de área que o problema pede (ou seja, que a média é de dois defeitos por
). Esta é uma hipótese natural quando o enunciado mistura “metro” com “m²” sem converter — e sem essa interpretação não há como relacionar taxa e área. Então, adotamos que a média esperada de defeitos em
é
.\n
(Se você tiver certeza de que o enunciado original queria outra coisa, diga; mas para resolver precisamos dessa hipótese.)
(Se você tiver certeza de que o enunciado original queria outra coisa, diga; mas para resolver precisamos dessa hipótese.)
Passo 3
Apresentando a ferramenta: a distribuição de Poisson.\n
- A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, comprimento, área etc.), quando essas ocorrências são independentes e a taxa média é constante.\n
- A grandeza
(lambda) representa a média esperada do número de eventos no intervalo considerado. No nosso caso é a média de defeitos em .\n - A fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é:\n
Aqui
é a variável aleatória que conta defeitos no intervalo;
é o fatorial de
(por exemplo,
,
).\n
Vou usar essa fórmula com e
.
Vou usar essa fórmula com
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da Poisson:\n
Calcule passo a passo:\n
-
.\n -
.\n
Portanto,\n
Passo 5
Agora vamos obter um valor numérico aproximado para
.\n
- Sabemos que
. Então .\n - Logo
.\n - Multiplicando por 2:
.\n
Arredondando de forma usuais para 4 casas decimais, obtemos.\n
Passo 6
Interpretação final e dica para prova:\n
- A resposta exata é
. Se pedirem forma fechada deixe assim; se pedirem valor numérico, use a aproximação .\n - Dica prática: em provas é comum que a taxa dada já seja para a mesma unidade do pedaço analisado; sempre cheque unidades. Para calcular probabilidades com Poisson memoriza a fórmula
e saiba identificar como a média no intervalo/área em questão.\n
Força aí — deu trabalho, mas é direto quando você identificae aplica a fórmula.