Um laboratório está calibrando um instrumento de medição de comprimento. O valor verdadeiro da peça padrão, a 20^{\circ} \mathrm{C}, é de 50,00 \mathrm{~mm}. Foram feitas 5 medições da peça em uma sala com temperatura ambiente de 24^{\circ} \mathrm{C}, e os seguintes resultados foram obtidos:
49,91 \mathrm{~mm}|49,95 \mathrm{~mm}| 49,92 \mathrm{~mm}|49,94 \mathrm{~mm}| 49,93 \mathrm{~mm}
A peça é feita de aço, com coeficiente de dilatação linear 11,5. 10^{-6}
a) Calcule a média das medições realizadas.
b) Corrija o valor médio para 20^{\circ} \mathrm{C}, considerando a dilatação térmica da peça.
c) Calcule a tendência da medição corrigida.
d) Determine a incerteza tipo A.
e) Cite 5 fontes de erro neste processo de medição classificando cada um como erro sistemático ou aleatório

Passo 1

O enunciado pede resoluções para as letras (a) a (e). Dados e perguntas extraídas do enunciado:
  • Valor verdadeiro da peça à 20^\circ\mathrm{C}: \,50,00\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura das medições: \,24^\circ\mathrm{C}.
  • Mediçõess realizadas (cinco valores): \,49,91\\ \mathrm{mm}, \,49,95\\ \mathrm{mm}, \,49,92\\ \mathrm{mm}, \,49,94\\ \mathrm{mm}, \,49,93\\ \mathrm{mm}.
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \,\alpha = 11,5\times 10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
As perguntas:
a) Calcular a média das medições realizadas.
b) Corrigir o valor médio para 20^\circ\mathrm{C}, considerando dilatação térmica.
c) Calcular a tendência (viés) da medição corrigida em relação ao valor verdadeiro.
d) Determinar a incerteza tipo A (incerteza estatística).
e) Citar 5 fontes de erro, classificando cada uma como erro sistemático ou aleatório.

Passo 2

Calcular a média aritmética das medições. Fórmula da média (média amostral):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de medições e x_i são os valores medidos.
Aplicando aos dados:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 49,91 + 49,95 + 49,92 + 49,94 + 49,93 = 249,65\\ \mathrm{mm}.
Portanto
\bar{x}=\frac{249,65}{5}=49,93\\ \mathrm{mm}.
Explicação didática: a média é o “centro” das medições; somamos todas e dividimos pelo número de medidas. Aqui deu \,49,93\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Explicar e aplicar a correção por dilatação térmica. Fórmula da dilatação linear (para pequenas variações de temperatura):
L(T)=L(T_{ref})\big(1+\alpha (T-T_{ref})\big),
onde L(T) é o comprimento à temperatura T, L(T_{ref}) é o comprimento à temperatura de referência T_{ref}, e \alpha é o coeficiente de dilatação linear.
No nosso caso medimos em T=24^\circ\mathrm{C} e queremos o comprimento em T_{ref}=20^\circ\mathrm{C}. Chamando L_{24}=\bar{x}=49,93\\ \mathrm{mm} e L_{20} o que queremos, a relação é
L_{24}=L_{20}\big(1+\alpha\,(24-20)\big).
Isolando L_{20}:
L_{20}=\frac{L_{24}}{1+\alpha \Delta T},\quad \Delta T=24-20=4\\ \mathrm{^\circ C}.
Substituindo numericamente ( \alpha=11,5\times10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}):
1+\alpha\Delta T = 1 + 11,5\times10^{-6}\times 4 = 1 + 46\times10^{-6} = 1,000046.
Logo
L_{20}=\frac{49,93}{1,000046}=49,9277032\\ \mathrm{mm}\approx 49,9277\\ \mathrm{mm}.
Didática: como a peça encolhe ao diminuir a temperatura, para obter o comprimento à temperatura mais baixa dividimos o comprimento medido pela razão (1+\alpha\Delta T).

Passo 4

Calcular a tendência (viés) da medição corrigida em relação ao valor verdadeiro de 20^\circ\mathrm{C}.
Definição de tendência (viés): diferença entre o valor médio corrigido e o valor verdadeiro:
\text{tendência} = L_{20}-L_{\text{verdadeiro}}.ê
Substituindo:
\text{tendência}=49,9277032-50,00=-0,0722968\\ \mathrm{mm}\approx -0,0723\\ \mathrm{mm}.ê
Interpretação didática: o sinal negativo indica que, após correção térmica, a medição ainda está menor que o valor verdadeiro em cerca de -0,0723\\ \mathrm{mm}. Ou seja, há um viés de subestimação.

Passo 5

Calcular a incerteza tipo A (incerteza estatística) baseada nas repetibilidades das medições.
Primeiro calcule o desvio padrão amostral s. Fórmula:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Usando \bar{x}=49,93\\ \mathrm{mm}, calculamos as diferenças e quadrados:
\begin{aligned} 49,91-\bar{x} &= -0,02\\ \mathrm{mm},\quad (-0,02)^2=0,0004,\\\\ 49,95-\bar{x} &= +0,02\\ \mathrm{mm},\quad (0,02)^2=0,0004,\\\\ 49,92-\bar{x} &= -0,01\\ \mathrm{mm},\quad (-0,01)^2=0,0001,\\\\ 49,94-\bar{x} &= +0,01\\ \mathrm{mm},\quad (0,01)^2=0,0001,\\\\ 49,93-\bar{x} &= \\ \\\ 0,00\\ \mathrm{mm},\quad (0,00)^2=0,0000. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 0,0004+0,0004+0,0001+0,0001+0,0000 = 0,0010\\ \mathrm{mm^2}.
Agora
s=\sqrt{\frac{0,0010}{5-1}}=\sqrt{\frac{0,0010}{4}}=\sqrt{0,00025}=0,015811388\\ \mathrm{mm}\approx 0,01581\\ \mathrm{mm}.
Didática: s mede a dispersão das medições em torno da média; usamos n-1 para estimador não viciado.

Passo 6

Calcular a incerteza tipo A do valor médio (incerteza padrão da média) e propagar para o valor corrigido.
A incerteza padrão da média (incerteza tipo A) é:
u_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Com s=0,015811388\\ \mathrm{mm} e n=5:
u_{\bar{x}}=\frac{0,015811388}{\sqrt{5}}=\frac{0,015811388}{2,2360679}=0,0070710678\\ \mathrm{mm}\approx 0,00707\\ \mathrm{mm}.
Como aplicamos uma correção multiplicativa L_{20}=L_{24}/(1+\alpha\Delta T), a incerteza também se escala pela mesma razão 1/(1+\alpha\Delta T). Portanto a incerteza tipo A do valor corrigido é:
u_{L_{20}}=\frac{u_{\bar{x}}}{1+\alpha\Delta T}=\frac{0,0070710678}{1,000046}=0,007070742\\ \mathrm{mm}\approx 0,00707\\ \mathrm{mm}.
Comentário didático: a diferença entre u_{\bar{x}} e u_{L_{20}} é insignificante aqui porque o fator de correção é muito próximo de 1. Na prática podemos reportar u_A\approx 0,00707\\ \mathrm{mm} para o valor corrigido.

Passo 7

Citar 5 fontes de erro e classificá-las (sistemático ou aleatório), com breve explicação:
  1. Erro na medição da temperatura ambiente: sistemático.
    • Se o termômetro estiver calibrado de forma errada, todas as correções térmicas serão deslocadas (viés).
  2. Incerteza/erro no coeficiente de dilatação \alpha: sistemático.
    • Valor de \alpha fornecido é uma média; se for incorreto para a liga específica, a correção será tendenciosa.
  3. Descalibração ou offset do instrumento de medição (zero fora): sistemático.
    • Um erro constante do instrumento (ex.: escala afastada) causa um deslocamento em todas as medições.
  4. Repetibilidade / ruído de leitura (variação entre medições): aleatório.
    • Pequenas flutuações ao repetir a medida (posição, leve movimento, leitura) manifestam-se como dispersão e são tratadas estatisticamente (tipo A).
  5. Resolução do aparelho / quantização e leitura do operador (paralaxe): aleatório (na prática pode ter componentes sistemáticos e aleatórios, mas aqui classificado como aleatório).
    • A resolução finita do aparelho limita a precisão de cada leitura e a leitura humana introduz variações imprevisíveis entre repetições.

Resposta

(a) \bar{x}=49,93\\ \mathrm{mm}
(b) L_{20}=49,9277032\\ \mathrm{mm}\approx 49,9277\\ \mathrm{mm}
(c) \text{tendência}=L_{20}-50,00=-0,0722968\\ \mathrm{mm}\approx -0,0723\\ \mathrm{mm}ê
(d) Incerteza tipo A (valor corrigido): u_{L_{20}}\approx 0,00707\\ \mathrm{mm}
(e) Cinco fontes de erro (classificação):
  1. Erro na medição da temperatura ambiente — sistemático.
  2. Incerteza no coeficiente de dilatação \alpha — sistemático.
  3. Descalibração / offset do instrumento — sistemático.
  4. Repetibilidade / ruído de leitura — aleatório.
  5. Resolução do aparelho e leitura do operador (paralaxe) — aleatório.

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