Um laboratório está calibrando um instrumento de medição de comprimento. O valor verdadeiro da peça padrão, a 20^{\circ} \mathrm{C}, é de 50,00 \mathrm{~mm}. Foram feitas 5 medições da peça em uma sala com temperatura ambiente de 24^{\circ} \mathrm{C}, e os seguintes resultados foram obtidos: 49,91 \mathrm{~mm}|49,95 \mathrm{~mm}| 49,92 \mathrm{~mm}|49,94 \mathrm{~mm}| 49,93 \mathrm{~mm}
A peça é feita de aço, com coeficiente de dilatação linear 11,5. 10^{-6}
a) Calcule a média das medições realizadas.
b) Corrija o valor médio para 20^{\circ} \mathrm{C}, considerando a dilatação térmica da peça.
c) Calcule a tendência da medição corrigida.
d) Determine a incerteza tipo A.
e) Cite 5 fontes de erro neste processo de medição classificando cada um como erro sistemático ou aleatório
Passo 1
O enunciado pede resoluções para as letras (a) a (e). Dados e perguntas extraídas do enunciado:
Valor verdadeiro da peça à 20^\circ\mathrm{C}: \,50,00\\ \mathrm{mm}.
Coeficiente de dilatação linear do aço: \,\alpha = 11,5\times 10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}.
As perguntas:
a) Calcular a média das medições realizadas.
b) Corrigir o valor médio para 20^\circ\mathrm{C}, considerando dilatação térmica.
c) Calcular a tendência (viés) da medição corrigida em relação ao valor verdadeiro.
d) Determinar a incerteza tipo A (incerteza estatística).
e) Citar 5 fontes de erro, classificando cada uma como erro sistemático ou aleatório.
Passo 2
Calcular a média aritmética das medições. Fórmula da média (média amostral):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de medições e x_i são os valores medidos.
Explicação didática: a média é o “centro” das medições; somamos todas e dividimos pelo número de medidas. Aqui deu \,49,93\\ \mathrm{mm}.
Passo 3
Explicar e aplicar a correção por dilatação térmica. Fórmula da dilatação linear (para pequenas variações de temperatura):
L(T)=L(T_{ref})\big(1+\alpha (T-T_{ref})\big),
onde L(T) é o comprimento à temperatura T, L(T_{ref}) é o comprimento à temperatura de referência T_{ref}, e \alpha é o coeficiente de dilatação linear.
No nosso caso medimos em T=24^\circ\mathrm{C} e queremos o comprimento em T_{ref}=20^\circ\mathrm{C}. Chamando L_{24}=\bar{x}=49,93\\ \mathrm{mm} e L_{20} o que queremos, a relação é
Didática: como a peça encolhe ao diminuir a temperatura, para obter o comprimento à temperatura mais baixa dividimos o comprimento medido pela razão (1+\alpha\Delta T).
Passo 4
Calcular a tendência (viés) da medição corrigida em relação ao valor verdadeiro de 20^\circ\mathrm{C}.
Definição de tendência (viés): diferença entre o valor médio corrigido e o valor verdadeiro:
Interpretação didática: o sinal negativo indica que, após correção térmica, a medição ainda está menor que o valor verdadeiro em cerca de -0,0723\\ \mathrm{mm}. Ou seja, há um viés de subestimação.
Passo 5
Calcular a incerteza tipo A (incerteza estatística) baseada nas repetibilidades das medições.
Primeiro calcule o desvio padrão amostral s. Fórmula:
Como aplicamos uma correção multiplicativa L_{20}=L_{24}/(1+\alpha\Delta T), a incerteza também se escala pela mesma razão 1/(1+\alpha\Delta T). Portanto a incerteza tipo A do valor corrigido é:
Comentário didático: a diferença entre u_{\bar{x}} e u_{L_{20}} é insignificante aqui porque o fator de correção é muito próximo de 1. Na prática podemos reportar u_A\approx 0,00707\\ \mathrm{mm} para o valor corrigido.
Passo 7
Citar 5 fontes de erro e classificá-las (sistemático ou aleatório), com breve explicação:
Erro na medição da temperatura ambiente: sistemático.
Se o termômetro estiver calibrado de forma errada, todas as correções térmicas serão deslocadas (viés).
Incerteza/erro no coeficiente de dilatação \alpha: sistemático.
Valor de \alpha fornecido é uma média; se for incorreto para a liga específica, a correção será tendenciosa.
Descalibração ou offset do instrumento de medição (zero fora): sistemático.
Um erro constante do instrumento (ex.: escala afastada) causa um deslocamento em todas as medições.
Repetibilidade / ruído de leitura (variação entre medições): aleatório.
Pequenas flutuações ao repetir a medida (posição, leve movimento, leitura) manifestam-se como dispersão e são tratadas estatisticamente (tipo A).
Resolução do aparelho / quantização e leitura do operador (paralaxe): aleatório (na prática pode ter componentes sistemáticos e aleatórios, mas aqui classificado como aleatório).
A resolução finita do aparelho limita a precisão de cada leitura e a leitura humana introduz variações imprevisíveis entre repetições.
Resposta
(a) \bar{x}=49,93\\ \mathrm{mm}
(b) L_{20}=49,9277032\\ \mathrm{mm}\approx 49,9277\\ \mathrm{mm}
(c) \text{tendência}=L_{20}-50,00=-0,0722968\\ \mathrm{mm}\approx -0,0723\\ \mathrm{mm}ê
(d) Incerteza tipo A (valor corrigido): u_{L_{20}}\approx 0,00707\\ \mathrm{mm}
(e) Cinco fontes de erro (classificação):
Erro na medição da temperatura ambiente — sistemático.
Incerteza no coeficiente de dilatação \alpha — sistemático.
Descalibração / offset do instrumento — sistemático.
Repetibilidade / ruído de leitura — aleatório.
Resolução do aparelho e leitura do operador (paralaxe) — aleatório.