Num laboratório constatou-se que a massa de uma certa cultura de bactérias crescia sagundo a lei
, onde
è medida em unidades convenientes de massa e
em minutos.
Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando
? E quando
?
Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
- A massa da cultura é dada por
, onde está em unidades convenientes de massa e em minutos. - Perguntas:
- Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando
? - Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando
?
- Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando
Passo 2
O que significa “velocidade da massa crescendo”: trata-se da taxa instantânea de variação da massa em relação ao tempo, ou seja a derivada de
em relação a
, escrita por
ou
. Intuitivamente, é o quanto a massa aumenta (em unidades de massa) por minuto naquele instante.
A definição formal (que ajuda a entender) é
A definição formal (que ajuda a entender) é
mas na prática para funções polinomiais usamos regras rápidas (mais convenientes na prova) que vou explicar no próximo passo.
Passo 3
Regras úteis (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante: se
com constante, então . Ou seja, pode-se puxar constantes para fora da derivada. - Regra do poder (power rule): para
com número real, temos . No caso de , . - A derivada de uma constante (número sem
) é zero.
Agora aplicar essas regras à função
. Primeiro expandir mentalmente:
Aplicando as regras:
- A derivada de
é vezes a derivada de . Pela regra do poder, . Logo
- A derivada de
(constante) é .
Somando os termos:
Comentário sobre unidades: como
está em unidades de massa e
em minutos,
tem unidades “unidades de massa por minuto”.
Passo 4
Calcular a velocidade em
. Substituir
em
:
Interpretação: a massa estava aumentando a
unidades de massa por minuto quando
.
Passo 5
Calcular a velocidade em
. Substituir
em
:
Interpretação: a massa estava aumentando a
unidades de massa por minuto quando
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
- Para funções do tipo constante vezes polinômio, use direto a regra do fator constante + regra do poder; é rápido e seguro.
- Sempre anote as unidades do resultado (aqui: massa/minuto).
- Se quiser, para treinar, use a definição do limite em um exemplo simples para ver que dá o mesmo resultado; mas em prova com tempo curto, use as regras diretas.
Resposta
Quando
:
unidades de massa por minuto.
Quando :
unidades de massa por minuto.
Quando