Num laboratório constatou-se que a massa de uma certa cultura de bactérias crescia sagundo a lei M(t)=50\left(t^{2}+2\right), onde M è medida em unidades convenientes de massa e t em minutos.
Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando t=5 \mathrm{~min} ? E quando t =8 \mathrm{~min} ?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
  • A massa da cultura é dada por M(t)=50\left(t^{2}+2\right), onde M está em unidades convenientes de massa e t em minutos.
  • Perguntas:
    1. Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando t=5\\ \mathrm{min}?
    2. Com que velocidade a massa da cultura estava crescendo quando t=8\\ \mathrm{min}?

Passo 2

O que significa “velocidade da massa crescendo”: trata-se da taxa instantânea de variação da massa em relação ao tempo, ou seja a derivada de M em relação a t, escrita por M'(t) ou \dfrac{dM}{dt}. Intuitivamente, é o quanto a massa aumenta (em unidades de massa) por minuto naquele instante.
A definição formal (que ajuda a entender) é
M'(t)=\lim_{h\to0}\frac{M(t+h)-M(t)}{h},
mas na prática para funções polinomiais usamos regras rápidas (mais convenientes na prova) que vou explicar no próximo passo.

Passo 3

Regras úteis (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se f(t)=c\cdot g(t) com c constante, então f'(t)=c\cdot g'(t). Ou seja, pode-se puxar constantes para fora da derivada.
  • Regra do poder (power rule): para g(t)=t^{n} com n número real, temos g'(t)=n\,t^{n-1}. No caso de n=2, \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • A derivada de uma constante (número sem t) é zero.
Agora aplicar essas regras à função M(t). Primeiro expandir mentalmente:
M(t)=50\left(t^{2}+2\right)=50t^{2}+100.
Aplicando as regras:
  • A derivada de 50t^{2} é 50 vezes a derivada de t^{2}. Pela regra do poder, \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t. Logo
\frac{d}{dt}\big(50t^{2}\big)=50\cdot 2t=100t.
  • A derivada de 100 (constante) é 0.
Somando os termos:
M'(t)=100t+0=100t.
Comentário sobre unidades: como M está em unidades de massa e t em minutos, M'(t) tem unidades “unidades de massa por minuto”.

Passo 4

Calcular a velocidade em t=5\\ \mathrm{min}. Substituir t=5 em M'(t)=100t:
M'(5)=100\cdot 5=500.
Interpretação: a massa estava aumentando a 500 unidades de massa por minuto quando t=5\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Calcular a velocidade em t=8\\ \mathrm{min}. Substituir t=8 em M'(t)=100t:
M'(8)=100\cdot 8=800.
Interpretação: a massa estava aumentando a 800 unidades de massa por minuto quando t=8\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
  • Para funções do tipo constante vezes polinômio, use direto a regra do fator constante + regra do poder; é rápido e seguro.
  • Sempre anote as unidades do resultado (aqui: massa/minuto).
  • Se quiser, para treinar, use a definição do limite em um exemplo simples para ver que dá o mesmo resultado; mas em prova com tempo curto, use as regras diretas.

Resposta

Quando t=5\\ \mathrm{min}: 500 unidades de massa por minuto.
Quando t=8\\ \mathrm{min}: 800 unidades de massa por minuto.

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