Derive :
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada em relação a
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Para que a função esteja definida é necessário que
(argumento do positivo). - Pedido: calcular
.
Passo 2
Vou relembrar a regra que vamos usar (explicando calmamente):
- Regra da cadeia para logaritmo: se
, onde é uma função diferenciável, então
Explicando: o log natural tem derivada
em relação a
; como
depende de
, multiplicamos por
(isso é a chamada “cadeia”). Aqui
. Um exemplo simples para fixar: se
então
,
e
Passo 3
Calcular
para
. Derivadas básicas:
-
(a exponencial se deriva para ela mesma). -
.
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula da Passo 2 com
e
, obtemos
Essa é a derivada solicitada.
Passo 5
Observações práticas (úteis na prova e para fazer checagens rápidas):
- A derivada está definida no mesmo domínio de
, ou seja para tais que . - Comportamentos limítrofes: quando
temos (porque domina ); se se aproxima do ponto onde a derivada tende a (numerador positivo).