Derive :
y=\ln \left(e^{x}+x\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\ln\!\big(e^{x}+x\big)\; e pede a sua derivada em relação a x. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y=\ln\!\big(e^{x}+x\big).
  • Para que a função esteja definida é necessário que e^{x}+x>0 (argumento do \ln positivo).
  • Pedido: calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vou relembrar a regra que vamos usar (explicando calmamente):
  • Regra da cadeia para logaritmo: se y=\ln\!\big(u(x)\big), onde u(x) é uma função diferenciável, então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: o log natural tem derivada 1/u em relação a u; como u depende de x, multiplicamos por u'(x) (isso é a chamada “cadeia”). Aqui u(x)=e^{x}+x. Um exemplo simples para fixar: se y=\ln(2x+3) então u(x)=2x+3, u'(x)=2 e
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2x+3}.

Passo 3

Calcular u'(x) para u(x)=e^{x}+x. Derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} (a exponencial se deriva para ela mesma).
  • \dfrac{d}{dx}x=1.
    Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}+x\big)=e^{x}+1.

Passo 4

Aplicando a fórmula da Passo 2 com u(x)=e^{x}+x e u'(x)=e^{x}+1, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.
Essa é a derivada solicitada.

Passo 5

Observações práticas (úteis na prova e para fazer checagens rápidas):
  • A derivada está definida no mesmo domínio de y, ou seja para x tais que e^{x}+x>0.
  • Comportamentos limítrofes: quando x\to+\infty temos \dfrac{e^{x}+1}{e^{x}+x}\to1 (porque e^{x} domina x); se x se aproxima do ponto onde e^{x}+x\to0^{+} a derivada tende a +\infty (numerador positivo).

Resposta

y'=\dfrac{e^{x}+1}{e^{x}+x}

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