Derive :
y=e^{x} / \ln x.

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{e^{x}}{\ln x} e pede a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle y=\frac{e^{x}}{\ln x}.
  • A função só está definida para x>0 (porque \ln x aparece no denominador).
    A partir daqui vamos calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Escolha do método: usar a regra do quociente é direto e apropriado para \displaystyle y=\dfrac{u}{v}. Alternativa: escrever y=e^{x}(\ln x)^{-1} e usar regra do produto + cadeia. Vou usar a regra do quociente por ser mais direta aqui; ela é equivalente ao outro método.

Passo 3

Apresentando a regra do quociente e explicando os símbolos. Se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da função (a função que chamamos de cima),
  • v(x) é o denominador,
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v em relação a x.

Passo 4

Identificar u e v e calcular suas deriva das:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\ln x.
Derivadas:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad(\text{válido para }x>0).á

Passo 5

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
\frac{dy}{dx} =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{e^{x}\ln x - e^{x}\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}.
Fatorando e^{x} no numerador:
\frac{dy}{dx} =\frac{e^{x}\!\left(\ln x-\dfrac{1}{x}\right)}{(\ln x)^{2}}.
Podemos simplificar a expressão dentro dos parênteses escrevendo \ln x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x\ln x-1}{x}. Assim
\frac{dy}{dx} =\frac{e^{x}}{(\ln x)^{2}}\cdot\frac{x\ln x-1}{x} =\frac{e^{x}\,(x\ln x-1)}{x(\ln x)^{2}}.
Lembre-se: esta derivada vale para x>0 (domínio da função original).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}\,(x\ln x-1)}{x(\ln x)^{2}}

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