Uma partícula move-se em movimento circular uniformemente acelerado (MCUV) em uma trajetória de raio
. Inicialmente ela possui velocidade angular
e, após sofrer uma aceleração angular constante
, percorre um deslocamento angular de
. Determine a velocidade linear da partícula ao final do movimento. (Dados:
)
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede a velocidade linear da partícula ao final do movimento. Dados fornecidos:
(raio da trajetória),
(velocidade angular inicial),
(aceleração angular constante),
(deslocamento angular durante a aceleração).
A pergunta é: qual é a velocidade linear final da partícula após esse deslocamento angular?
A pergunta é: qual é a velocidade linear final
Passo 2
Vamos usar a relação cinemática angular que liga velocidades angulares, aceleração angular e deslocamento angular quando a aceleração é constante. A fórmula é análoga à fórmula
da cinemática linear. A fórmula angular é:
Aqui:
-
é a velocidade angular final (o que queremos primeiro), -
é a velocidade angular inicial, -
é a aceleração angular constante, -
é o deslocamento angular percorrido.
Explicando por que essa fórmula vale: com aceleração angular constante
, a aceleração é a derivada de
em relação ao tempo e integrar a relação entre aceleração, velocidade e deslocamento angular leva a essa expressão (mesmo raciocínio da cinemática reescrito em grandezas angulares).
Passo 3
Substituímos os valores numéricos na fórmula para obter
:
Calcule cada termo:
Somando:
Tomando raiz quadrada:
usando a aproximação dada
.
Passo 4
Agora ligamos a velocidade angular final à velocidade linear final. A relação entre velocidade linear
e velocidade angular
para um movimento circular é:
Aqui:
-
é a velocidade linear tangencial (m/s), -
é a velocidade angular (rad/s), -
é o raio da trajetória (m).
Essa relação vem do fato de que, ao girar um ângulo, o arco percorrido é ; derivando em relação ao tempo aparece .
Passo 5
Usamos
calculada e o raio
para obter
:
Num valor aproximado:
Unidades checam:
, ok.
Passo 6
Verificação rápida de plausibilidade: a velocidade angular aumentou de
para cerca de
por uma aceleração angular positiva — faz sentido. Multiplicando por
obtemos
, que corresponde à alternativa correta.
Resposta
E)