Uma partícula move-se em movimento circular uniformemente acelerado (MCUV) em uma trajetória de raio R=2,0 \mathrm{~m}. Inicialmente ela possui velocidade angular \omega_{0}=3,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e, após sofrer uma aceleração angular constante \alpha=2,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, percorre um deslocamento angular de \Delta \theta= 5,0 \mathrm{rad}. Determine a velocidade linear da partícula ao final do movimento. (Dados: \sqrt{29} \approx 5,4 )
A) 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
B) 5,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
C) 6,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
D) 7,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
E) 10,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a velocidade linear da partícula ao final do movimento. Dados fornecidos:
\;R=2,0\\ \mathrm{m} (raio da trajetória),
\;\omega_{0}=3,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} (velocidade angular inicial),
\;\alpha=2,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2} (aceleração angular constante),
\;\Delta\theta=5,0\\ \mathrm{rad} (deslocamento angular durante a aceleração).
A pergunta é: qual é a velocidade linear final v da partícula após esse deslocamento angular?

Passo 2

Vamos usar a relação cinemática angular que liga velocidades angulares, aceleração angular e deslocamento angular quando a aceleração é constante. A fórmula é análoga à fórmula v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x da cinemática linear. A fórmula angular é:
\omega_{f}^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\,\Delta\theta.
Aqui:
  • \omega_{f} é a velocidade angular final (o que queremos primeiro),
  • \omega_{0} é a velocidade angular inicial,
  • \alpha é a aceleração angular constante,
  • \Delta\theta é o deslocamento angular percorrido.
Explicando por que essa fórmula vale: com aceleração angular constante \alpha, a aceleração é a derivada de \omega em relação ao tempo e integrar a relação entre aceleração, velocidade e deslocamento angular leva a essa expressão (mesmo raciocínio da cinemática reescrito em grandezas angulares).

Passo 3

Substituímos os valores numéricos na fórmula para obter \omega_{f}:
\omega_{f}^{2}=(\omega_{0})^{2}+2\alpha\,\Delta\theta=(3,0)^{2}+2\cdot(2,0)\cdot(5,0).
Calcule cada termo:
(3,0)^{2}=9,0,
2\cdot(2,0)\cdot(5,0)=4,0\cdot5,0=20,0.
Somando:
\omega_{f}^{2}=9,0+20,0=29,0.
Tomando raiz quadrada:
\omega_{f}=\sqrt{29,0}\approx 5,4\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s},
usando a aproximação dada \sqrt{29}\approx 5,4.

Passo 4

Agora ligamos a velocidade angular final à velocidade linear final. A relação entre velocidade linear v e velocidade angular \omega para um movimento circular é:
v=\omega\,R.
Aqui:
  • v é a velocidade linear tangencial (m/s),
  • \omega é a velocidade angular (rad/s),
  • R é o raio da trajetória (m).
    Essa relação vem do fato de que, ao girar um ângulo \Delta\theta, o arco percorrido é \Delta s = R\,\Delta\theta; derivando em relação ao tempo aparece v=\mathrm{d}s/\mathrm{d}t = R\,\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t = R\omega.

Passo 5

Usamos \omega_{f} calculada e o raio R para obter v:
v=\omega_{f}\,R=\sqrt{29,0}\cdot 2,0 = 2,0\sqrt{29,0}.
Num valor aproximado:
v\approx 2,0\cdot 5,4 = 10,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Unidades checam: \mathrm{rad}/\mathrm{s}\times\mathrm{m}=\mathrm{m}/\mathrm{s}, ok.

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade: a velocidade angular aumentou de 3,0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} para cerca de 5,4\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} por uma aceleração angular positiva — faz sentido. Multiplicando por R=2,0\\ \mathrm{m} obtemos v\approx 10,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, que corresponde à alternativa correta.

Resposta

E) 10,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados