6- Em um laboratório de ensaios de materiais, utiliza-se o princípio do empuxo para determinar o volume de objetos com geometria complexa. Um técnico suspende um objeto de massa 3,0 \mathrm{~kg} por um dinamômetro e o imerge completamente em um tanque com água ( o=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), sem que o objeto toque nas paredes ou no fundo. Embora a leitura do dinamômetro permita calcular o peso aparente, o valor do empuxo - que depende apenas do volume deslocado e da densidade do fluido - é a grandeza diretamente relacionada ao volume do objeto. Esse método é amplamente usado por sua precisão e simplicidade experimental. Qual é o valor do empuxo exercido pela água sobre o objeto totalmente imerso, em newtons?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo de forma bem clara):
  • Massa do objeto: m=3{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • O objeto é imerso totalmente em água com densidade \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á.
  • O objeto não toca nas paredes nem no fundo.
  • O que se pede: o valor do empuxo E exercido pela água sobre o objeto totalmente imerso, em newtons.
Observação importante (aqui só identifico os dados, sem resolver ainda): para calcular numericamente o empuxo é necessário conhecer o volume do objeto V ou a leitura do dinamômetro (peso aparente). Esses dados adicionais não foram dados explicitamente no enunciado.

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (explicadinha, passo a passo).
  • A força de empuxo é dada pelo princípio de Arquimedes: o empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
  • Em fórmula isso é
E=\rho_{\text{fluido}}\;V\;g,
onde:
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (aqui, \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á);
  • V é o volume do corpo (ou volume de fluido deslocado), em \mathrm{m^{3}};
  • g é a aceleração da gravidade, aqui adotamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Explicando em palavras: multiplica-se quantos kg de água há num metro cúbico ( \rho) pelo volume que o objeto ocupa, obtém-se a massa de água deslocada; multiplicando essa massa por g obtemos o peso da água deslocada, que é exatamente o empuxo.

Passo 3

Como obter V na prática (duas maneiras que aparecem em experimentos e provas) — explico passo a passo para você aplicar na prova:
  1. Medindo o peso aparente com o dinamômetro: se T é a leitura do dinamômetro quando o corpo está totalmente imerso (força que o dinamômetro mede, para cima), no equilíbrio vertical valem as forças
T + E = m g.
Isolando E temos
E = m g - T.
Ou seja: se na prova você tiver a leitura T, basta subtrair de m g para achar o empuxo. Essa é a forma experimental direta que o enunciado descreve. Aqui:
  • m g é o peso real do objeto em N;
  • T é o peso aparente em N.
  1. Se conhecer a densidade do material do objeto \rho_{\text{obj}}, pode-se obter o volume pela relação
V=\frac{m}{\rho_{\text{obj}}}
e então usar E=\rho_{\text{água}} V gá.

Passo 4

Aplicando as fórmulas: forma geral numérica que você pode usar imediatamente na prova.
  • Substituindo os valores conhecidos na expressão geral obtemos a forma
E = \rho_{\text{água}}\;V\;g = 1000\;V\;9{,}8 = 9800\,V\quad(\mathrm{N}),á
ou seja, o empuxo vale \,9800\\ V newtons, sendo V em \mathrm{m^{3}}.
  • Se você tiver a leitura do dinamômetro T, calcule primeiro mg:
m g = 3{,}0\cdot 9{,}8 = 29{,}4\\ \mathrm{N},
e então
E = 29{,}4 - T\\ (\mathrm{N}).

Passo 5

Exemplos numéricos (para fixar a ideia — são ilustrações úteis na prova)
  • Se por acaso o objeto tiver densidade igual à da água ( \rho_{\text{obj}}=\rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á), então V=m/\rho_{\text{obj}}=3{,}0/1000=0{,}003\\ \mathrm{m^{3}} e
E = 9800\cdot 0{,}003 = 29{,}4\\ \mathrm{N}.
Nesse caso o empuxo é igual ao peso do objeto (objeto neutro).
  • Se o objeto for, por exemplo, de alumínio com \rho_{\text{obj}}\approx 2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}, então V=3{,}0/2700\approx 0{,}001111\\ \mathrm{m^{3}} e
E \approx 9800\cdot 0{,}001111 \approx 10{,}9\\ \mathrm{N}.
  • Se for aço com \rho_{\text{obj}}\approx 7800\\ \mathrm{kg/m^{3}}, então V\approx 0{,}0003846\\ \mathrm{m^{3}} e
E \approx 9800\cdot 0{,}0003846 \approx 3{,}77\\ \mathrm{N}.
Esses exemplos mostram por que sem o volume (ou a leitura T) não existe um único valor numérico para E.

Passo 6

Conclusão final direta e prática para a prova
  • A fórmula que resolve o problema é \displaystyle E=\rho_{\text{água}}\,V\,gá e, numericamente com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},
\boxed{E=9800\\ V\\ \mathrm{(N)}},
onde V é o volume do objeto em \mathrm{m^{3}}.
  • Se for fornecida a leitura do dinamômetro T, use \displaystyle E=mg-T com mg=29{,}4\\ \mathrm{N}.

Resposta

Não é possível determinar um único valor numérico com os dados fornecidos; em forma geral \;E=\rho_{\text{água}}\,V\,g=9800\\ V\\ \mathrm{N}á.

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