Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50 gramas cada foram guardadas a diferentes temperaturas, e após 15 dias mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo:
Temperatura Potência
14 7,93719903
17 7,3683714
29 10,1165929
20 8,16984071
21 8,6332617
23 10,9678033
26 10,7521896
29 11,6143863
27 10,6310913
35 12,5071231
Apresente um IC c|c Temperatura & mu para os parâmetros do modelo, e a conclusão sobre a regressão encontrada (R ajustado).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente veja se a temperatura (variável ) explica a potência do antibiótico (variável ) via regressão linear simples. A tarefa é:
  1. Calcular o intervalo de confiança de 95% para o intercepto ( ) e para o coeficiente angular ( ).
  2. Avaliar a qualidade do ajuste olhando o ajustado.
Para isso vamos precisar de:
  • As fórmulas da regressão linear (estimativas de e ).
  • Cálculos de somas resumo (médias, somas de quadrados).
  • O desvio-padrão dos estimadores (que envolve o erro residual).
  • A distribuição de Student (graus de liberdade ).

Passo 2

Primeiro a gente calcula as médias de bar x = 1nsumi=1^n xi = 24110 = 24,1, bar y = 1nsumi=1^n yi = 98,697910 approx 9,8698 e :
Dado observações,

Passo 3

Agora as somas necessárias:
Sxx = sum (xi - bar x)^2 = sum xi^2 - n,bar x^2 = 6167 - 10cdot(24,1)^2 = 358,9,
Sxy = sum (xi - bar x)(yi - bar y) = sum xi yi - n,bar x,bar y = 2467,88 - 10cdot24,1cdot9,8698 approx 89,2596

Passo 4

Estimamos os coeficientes da reta hatbeta1 = SxySxx = 89,2596358,9 approx 0,2488, :
hatbeta0 = bar y - hatbeta1,bar x = 9,8698 - 0,2488cdot24,1 approx 3,8737

Passo 5

Para o erro residual, usamos
SST = sum (yi-bar y)^2 approx 27,65, SSR = hatbeta1,Sxy approx 22,21,
SSE = SST - SSR approx 5,44, widehatsigma^2 = SSEn-2 = 5,448 approx 0,6803
Desvio-padrão dos estimadores:
se(hatbeta1) = raizwidehatsigma^2Sxx = raiz0,6803358,9 approx 0,0436,
se(hatbeta0) = raizwidehatsigma^2l(1n + bar x^2Sxxr) approx 1,082

Passo 6

O grau de liberdade é hatbeta1 pm t,se(hatbeta1) = 0,2488 pm 2,306 times 0,0436 ;longrightarrow; (0,1484,;0,3492), . Para 95% de confiança, hatbeta0 pm t,se(hatbeta0) = 3,8737 pm 2,306 times 1,082 ;longrightarrow; (1,3767,;6,3707) .
Então os ICs ficam:

Passo 7

O R^2 = SSRSST approx 22,2127,65 approx 0,8035,
R^2ajustado = 1 - (1-R^2)(n-1)n-2 approx 1 - (1-0,8035),98 approx 0,78
e o ajustado

Resposta

Intervalo de confiança de 95%:
• Para o coeficiente angular : (0,1484 ; 0,3492)
• Para o intercepto : (1,3767 ; 6,3707)
O ajustado é cerca de 0,78, ou seja, o modelo linear explica aproximadamente 78% da variação na potência. A relação é positiva e estatisticamente significativa, já que o IC de não contém zero.

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