Quantos são os números ímpares, de cinco algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas é 16 e a soma de todos os algarismos é um múltiplo de 5?
Passo 1
Resumo da questão: a gente quer contar quantos números ímpares de 5 dígitos (ou seja, de 10000 a 99999) satisfazem duas coisas: a soma dos dígitos das dezenas e das unidades é 16 e a soma de todos os 5 dígitos é múltiplo de 5.
Conteúdo: combinatória de dígitos, paridade e congruência módulo 5. Vamos precisar modelar cada dígito e usar ideia de distribuição uniforme de somas módulo 5.
Conteúdo: combinatória de dígitos, paridade e congruência módulo 5. Vamos precisar modelar cada dígito e usar ideia de distribuição uniforme de somas módulo 5.
Passo 2
Definimos o número como
, onde
-
(não pode ser zero), -
, -
(para ser ímpar).
As condições são:
-
. -
.
Passo 3
Achar os pares
com
,
ímpar e
.
Testando valores de :
Testando valores de
-
(válido) -
(válido)
Não há outras opções, logo só temose .
Passo 4
Em ambos os casos
. Para que
temos
Passo 5
Contar quantos triplos
com
,
satisfazem
.
- De
a são triplos, e a soma dos dígitos cai uniformemente em cada classe de resto mod 5 (200 em cada). - Destes, 100 têm
, também uniformes (20 em cada resto). - Logo, para
sobramos com triplos, sendo para cada resto.
Portanto, há 180 triplos com soma.
Resposta
Para cada um dos 2 pares
possíveis temos 180 escolhas de
, totalizando
Resposta final: 360.