Quantos são os números ímpares, de cinco algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas é 16 e a soma de todos os algarismos é um múltiplo de 5?

Passo 1

Resumo da questão: a gente quer contar quantos números ímpares de 5 dígitos (ou seja, de 10000 a 99999) satisfazem duas coisas: a soma dos dígitos das dezenas e das unidades é 16 e a soma de todos os 5 dígitos é múltiplo de 5.
Conteúdo: combinatória de dígitos, paridade e congruência módulo 5. Vamos precisar modelar cada dígito e usar ideia de distribuição uniforme de somas módulo 5.

Passo 2

Definimos o número como , onde
  • (não pode ser zero),
  • ,
  • (para ser ímpar).
    As condições são:
  1. .
  2. .

Passo 3

Achar os pares com , ímpar e .
Testando valores de :
  • (válido)
  • (válido)
    Não há outras opções, logo só temos e .

Passo 4

Em ambos os casos a+b+c+d+eequiv0pmod5 . Para que
a+b+c+16equiv0pmod5 Longrightarrow a+b+cequiv4pmod5
temos

Passo 5

Contar quantos triplos com , satisfazem .
  • De a são triplos, e a soma dos dígitos cai uniformemente em cada classe de resto mod 5 (200 em cada).
  • Destes, 100 têm , também uniformes (20 em cada resto).
  • Logo, para sobramos com triplos, sendo para cada resto.
    Portanto, há 180 triplos com soma .

Resposta

Para cada um dos 2 pares 2times 180 ;=; 360 possíveis temos 180 escolhas de , totalizando
Resposta final: 360.

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