No laboratório de materiais da UACSA estão sendo realizados os testes em novos materiais para serem usados em componentes elétricos. Determine a corrente em um fio do material A e B, ambos com mesmo raio R , cujo módulo da densidade de corrente é dado por
(1,0) Ja=C cdot rR A / m^2 onde r é a distância radial e C é uma constante real e positiva medida em A / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar a corrente elétrica que passa por um fio feito dos materiais A e B. Ambos os fios têm o mesmo raio, R. A densidade de corrente (que é como a corrente está distribuída no fio) é dada pela fórmula:
Ja = C cdot rR , A/m^2
Aqui, $ r $ é a distância radial do centro do fio, e $ C $ é uma constante positiva. A matéria envolvida é eletromagnetismo, especificamente sobre densidade de corrente e como calcular a corrente total a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente. A densidade de corrente, $ \vec{J} $, nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total, precisamos somar (integrar) toda essa densidade sobre a área transversal do fio.

Passo 3

Como o fio é cilíndrico e a densidade de corrente depende da distância radial $ r $, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é dado por:
r
Isso porque estamos considerando um anel a uma distância $ r $ do centro com espessura $ dr $.

Passo 4

Agora, vamos expressar a corrente total $ I $ integrando a densidade de corrente $ \vec{J}_{a} $ sobre toda a área do fio, de $ r = 0 $ até $ r = R $:
I

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
I = 2pi C integral0^R r^2R , dr = 2pi CR integral0^R r^2 , dr

Passo 6

Calculando a integral de $ r^2 $ de 0 a R:
r^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da corrente:
I = 2pi CR cdot R^33 = 2pi C R^23

Resposta

A corrente no fio é:
I = 2,pi,C,R^23 , A

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