No laboratório de materiais da UACSA estão sendo realizados os testes em novos materiais para serem usados em componentes elétricos. Determine a corrente em um fio do material A e B, ambos com mesmo raio R , cujo módulo da densidade de corrente é dado por
onde
é a distância radial e
é uma constante real e positiva medida em A
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar a corrente elétrica que passa por um fio feito dos materiais A e B. Ambos os fios têm o mesmo raio, R. A densidade de corrente (que é como a corrente está distribuída no fio) é dada pela fórmula:
Aqui, $ r $ é a distância radial do centro do fio, e $ C $ é uma constante positiva. A matéria envolvida é eletromagnetismo, especificamente sobre densidade de corrente e como calcular a corrente total a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente. A densidade de corrente, $ \vec{J} $, nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total, precisamos somar (integrar) toda essa densidade sobre a área transversal do fio.
Passo 3
Como o fio é cilíndrico e a densidade de corrente depende da distância radial $ r $, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é dado por:
Isso porque estamos considerando um anel a uma distância $ r $ do centro com espessura $ dr $.
Passo 4
Agora, vamos expressar a corrente total $ I $ integrando a densidade de corrente $ \vec{J}_{a} $ sobre toda a área do fio, de $ r = 0 $ até $ r = R $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Calculando a integral de $ r^2 $ de 0 a R:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da corrente:
Resposta
A corrente no fio é: